题解 洛谷 P4546 【[THUWC2017]在美妙的数学王国中畅游】

首先发现有连边和删边的操作，所以我们肯定要用\(LCT\)来进行维护。

接下来考虑如何进行\(LCT\)上的信息合并。

\(f=1\),则函数为\(f(x)=sin(ax+b)\)

\(f=2\),则函数为\(f(x)=e^{ax+b}\)

\(f=3\),则函数为\(f(x)=ax+b\)

这道题中的信息为这三个函数，因为\(sin(ax+b)\)和\(e^{ax+b}\)不好处理，所以用泰勒展开都其处理为多项式的形式，再进行多项式的合并即可。

泰勒公式：

\[f(x)=\sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)\times(x-x_0)^i}{i!}
\]

我们让\(x_0=0\)，得：

\[f(x)=\sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i
\]

根据求导的知识，得：

\[(\sin x)'=\cos x
\]

\[(\cos x)'=-\sin x
\]

\[(-\sin x)'=-\cos x
\]

\[(-\cos x)'=\sin x
\]

\[(e^x)'=e^x
\]

同时再应用链式法则。

对\(sin(ax+b)\)进行泰勒展开得：

\[sin(ax+b)=\sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i
\]

其中，\(f^{(i)}(0)\)为：

\[f^{(i)}(0)=\begin{cases}\sin(b)a^i\ (i\mod4=0)\\\cos(b)a^i\ (i\mod4=1)\\-\sin(b)a^i\ (i\mod4=2)\\-\cos(b)a^i\ (i\mod4=3)\end{cases}
\]

对\(e^{ax+b}\)进行泰勒展开得：

\[e^{ax+b}=\sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i=\sum_{i=0}^{n} \frac{a^ie^b}{i!}x^i
\]

解决了信息合并后，修改查询什么的都是\(LCT\)的基本操作了，然后这道题就做完了。

实现细节看代码吧。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100010
#define maxm 20
using namespace std;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	x=0;char c=getchar();bool flag=false;
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	if(flag)x=-x;
}
int n,m;
char type[10];
int fa[maxn],ch[maxn][2],rev[maxn],f[maxn];
double fac[maxm],sum[maxn][maxm],a[maxn],b[maxn];
bool check(int x)
{
    return ch[fa[x]][1]==x;
}
void pushr(int x)
{
    rev[x]^=1;swap(ch[x][0],ch[x][1]);
}
void pushup(int x)
{
    for(int i=0;i<=15;++i)
        sum[x][i]=sum[ch[x][0]][i]+sum[ch[x][1]][i];
    if(f[x]==1)
    {
        double val=1,s=sin(b[x]),c=cos(b[x]);
        for(int i=0;i<=15;i+=4)
        {
            sum[x][i]+=s*val,val*=a[x];
            sum[x][i+1]+=c*val,val*=a[x];
            sum[x][i+2]-=s*val,val*=a[x];
            sum[x][i+3]-=c*val,val*=a[x];
        }
    }
    if(f[x]==2)
    {
        double val=exp(b[x]);
        for(int i=0;i<=15;++i) sum[x][i]+=val,val*=a[x];
    }
    if(f[x]==3) sum[x][1]+=a[x],sum[x][0]+=b[x];
}
void pushdown(int x)
{
    if(!rev[x]) return;
    pushr(ch[x][0]),pushr(ch[x][1]);
    rev[x]=0;
}
bool notroot(int x)
{
    return ch[fa[x]][0]==x||ch[fa[x]][1]==x;
}
void rotate(int x)
{
    int y=fa[x],z=fa[y],k=check(x),w=ch[x][k^1];
    if(notroot(y)) ch[z][check(y)]=x;
    fa[x]=z;
    ch[y][k]=w;
    if(w) fa[w]=y;
    ch[x][k^1]=y;
    fa[y]=x;
    pushup(y);
}
void all(int x)
{
    if(notroot(x)) all(fa[x]);
    pushdown(x);
}
void splay(int x)
{
    all(x);
    for(int y;notroot(x);rotate(x))
        if(notroot(y=fa[x]))
            rotate(check(x)^check(y)?x:y);
    pushup(x);
}
void access(int x)
{
    for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
        splay(x),ch[x][1]=y,pushup(x);
}
void makeroot(int x)
{
    access(x),splay(x),pushr(x);
}
void split(int x,int y)
{
    makeroot(x),access(y),splay(y);
}
int findroot(int x)
{
    access(x),splay(x);
    while(ch[x][0]) x=ch[x][0];
    splay(x);
    return x;
}
void link(int x,int y)
{
    makeroot(x),fa[x]=y;
}
void cut(int x,int y)
{
    split(x,y),fa[x]=ch[y][0]=0;
}
void modify(int x,int nf,double na,double nb)
{
    makeroot(x);
    f[x]=nf,a[x]=na,b[x]=nb;
}
double query(int x,int y,double q)
{
    double ans=0,now=1;
    split(x,y);
    for(int i=0;i<=15;++i)
        ans+=sum[y][i]*now/fac[i],now*=q;
    return ans;
}
void init()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=18;++i) fac[i]=fac[i-1]*i;
}
int main()
{
	init();
    read(n),read(m);
    scanf("%s",type);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        read(f[i]),scanf("%lf%lf",&a[i],&b[i]);
    while(m--)
    {
        int x,y,nf;
        double na,nb,q;
        scanf("%s",type);
        if(type[0]=='a')
            read(x),read(y),link(x+1,y+1);
        if(type[0]=='d')
            read(x),read(y),cut(x+1,y+1);
        if(type[0]=='m')
        {
            read(x),read(nf),x++;
            scanf("%lf%lf",&na,&nb);
            modify(x,nf,na,nb);
        }
        if(type[0]=='t')
        {
            read(x),read(y),x++,y++;
            scanf("%lf",&q);
            if(findroot(x)!=findroot(y))
            {
                puts("unreachable");
                continue;
            }
            printf("%.10lf\n",query(x,y,q));
        }
    }
	return 0;
}