wikioi 1154 能量项链 （2006年NOIP全国联赛提高组）

题目描述 Description

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m*r*n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

输入描述 Input Description

第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N< span>时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出描述 Output Description

只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*109），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例输入 Sample Input

4

2 3 5 10

样例输出 Sample Output

710

 

题目链接： http://wikioi.com/problem/1154/

题解：

思路可参考上一篇博文，石子归并。http://blog.csdn.net/kingzone_2008/article/details/12361327

状态转移方程为：dp[i][j] = max{dp[i][k] + dp[k+1][j] + a[i]*a[k+1]*a[j+1]}, k=i, ..., j-1, i和j都从1开始。dp[i][j]表示

输入n个数，则表示有n-1个能量珠。由于题目中的项链是一个环，起点可能是任意一个位置，可采用数组模拟环。（具体参见代码中的实现）

动态规划的过程，即各层循环如何设置，请看下面的分析：

dp[1][2] = max{dp[1][1] + dp[2][2] + a[1]*a[2]*a[3]}

dp[1][3] = max{dp[1][1] + dp[2][3] + a[1]*a[2]*a[4],

dp[1][2] + dp[3][3] + a[1]*a[3]*a[4]

}，因此dp[2][3]必须在dp[1][3]之前计算。

......

方案一：采用石子归并中的解法：按步进len从2开始依次计算。（代码基本同石子归并）

方案二：采用相同终点作为主循环（石子归并也可采用此法）。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int n, e=0;
int a[111*2];
int dp[111*2][111*2];
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
      cin >> a[i];
      a[i+n] = a[i];//用数组模拟环，减少一层循环
    }
    for(int j=2; j<=n+n; j++)
    {
      for(int i=j-1; i>=1&&j-i<n; i--)
      {
        int maxV = 0;
        for(int k=i; k<j; k++)
        {
          if(maxV < dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1])
            maxV = dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1];
        }
        dp[i][j] = maxV;
        if(e < dp[i][j]) e = dp[i][j];
      }
    }
    cout << e;
    return 0;
}