最近公共祖先(LCA)的三种求解方法

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简述

LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指这样一个问题：在有根树中，找出某两个结点 u 和 v 最近的公共祖先（另一种说法，离树根最远的公共祖先）。

算法

RMQ_ST
在线算法

简介

RMQ（Range Minimum/Maximum Query）, 即区间最值查询, 是指这样一个问题: 对于长度为 n 的数列 A，回答若干询问 RMQ（A, i, j）(i, j <= n), 返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在 O(nlogn) 时间内进行预处理，然后在
O(1) 时间内回答每个查询。

算法过程

首先是预处理，用动态规划（DP）解决。设 A[i] 是要求区间最值的数列， dp[i, j] 表示从第 i 个数起连续 2^j 个数中的最大值。例如数列 3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ，dp[1，0] 表示第 1 个数起，长度为 2 ^ 0 = 1 的最大值，其实就是 3 这个数。 dp[1, 2] = 5, dp[1, 3] = 8, dp[2, 0] = 2 , dp[2, 1] = 4 ……从这里可以看出 dp[i, 0] 其实就等于 A[i] 。这样，DP 的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把
dp[i, j] 平均分成两段（因为 dp[i, j] 一定是偶数个数字）, 从 i 到i+2 j−1−1为一段，i+2 j−1 到 i+2 j−1 为一段(长度都为 2 j−1)
。用上例说明，当 i = 1，j = 3 时就是 3,2,4,5 和 6,8,1,2 这两段。dp[i，j] 就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程

dp[i,j]=max(dp[i,j−1],dp[i+2 j−1,j−1])

然后是查询。取 k=[log2(r−l+1)]

则有

RMQ(A,l,r)=min(dp[l,k],dp[r−2k+1,k])

举例说明，要求区间 [2，8] 的最大值，就要把它分成 [2, 5] 和 [5, 8] 两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由 dp[2, 2] 和 dp[5, 2] 得到。

参考代码：

#include <cstdio>

const int MAXN = 100010;

int n, q;

int num[MAXN];

int dp[MAXN][20];

void ST(){

    for(int i = 1; i <= n; i++)

        dp[i][0] = num[i];

    for(int j = 1; j < 20; j++)

        for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)

            dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);

}

int RMQ(int l, int r){

    if(l > r) return 0;

    int k = log((double)(r - l + 1)) / log(2.0);

    return max(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);

}

int main(){

    while(scanf("%d%d", &n, &q) != EOF){

        for(int i = 1; i <= n; i++)

            scanf("%d", &num[i]);

        ST();

        int l, r;

        for(int i = 1; i <= q; i ++){

            scanf("%d%d", &l, &r);

            printf("%d\n", RMQ(l, r));

        }

    }

    return 0;

}

利用 RMQ_ST 算法求解 LCA 问题

思想是: 将树看成一个无向图，u 和 v 的公共祖先一定在 u 与 v 之间的最短路径上:

DFS: 从树 T 的根开始, 进行深度优先遍历（将树 T 看成一个无向图）, 并记录下每次到达的顶点, 以及这个点的深度, 第一个的结点是 root(T), 每经过一条边都记录它的端点。由于每条边恰好经过 2 次，因此一共记录了 2n - 1 个结点，用 dfn[1, … , 2n-1] 来表示。
计算first: 用 first[i] 表示 dfn 数组中第一个值为 i 的元素下标，即如果 first[u] < first[v] 时，DFS 访问的顺序是 dfn[first[u],first[u]+1,…,first[v]]。虽然其中包含
u 的后代，但深度最小的还是 u 与 v 的公共祖先。
RMQ: 当 first[u]>=first[v] 时，LCA[T,u,v]=RMQ(L,first[v],first[u]);
否则 LCA[T,u,v]=RMQ(L,first[u],first[v]),
计算 RMQ。

由于 RMQ 中使用的ST算法是在线算法，所以这个算法也是在线算法。

参考代码：

int pcnt = 0;               // 用来计算遍历序

int first[MAXN];

int dfn[2 * MAXN];          // 注意数组大小

int deepth[2 * MAXN];

int dp[2 * MAXN][20];

void dfs(int u, int fa, int dep){

    dfn[++pcnt] = u;

    first[u] = pcnt;

    deepth[pcnt] = dep;

    for(int i = head[u]; i + 1; i = edge[i].nxt){

        int v = edge[i].v;

        if(v == fa) continue;

        dfs(v, u, dep + 1);

        dfn[++pcnt] = u;

        deepth[pcnt] = dep;

    }

}

void ST(){

    for(int i = 1; i <= pcnt; i++)

        dp[i][0] = i;

    for(int j = 1; j < 20; j++)

        for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= pcnt; i++){

            int a = dp[i][j - 1], b = dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1];

            if(deepth[a] < deepth[b]) dp[i][j] = a;

            else dp[i][j] = b;

        }

}

int RMQ(int l, int r){

    int k = log((double)(r - l + 1)) / log(2.0);

    int a = dp[l][k], b = dp[r - (1 << k) + 1][k];

    if(deepth[a] < deepth[b]) return a;

    else return b;

}

int LCA(int L, int R){

    int l = first[L];

    int r = first[R];

    if(l > r) swap(l, r);

    int pos = RMQ(l, r);

    return dfn[pos];

}

离线 TarJan 算法

简述

Tarjan算法（以发现者Robert Tarjan命名）是一个在图中寻找强连通分量的算法。算法的基本思想为：任选一结点开始进行深度优先搜索dfs（若深度优先搜索结束后仍有未访问的结点，则再从中任选一点再次进行）。搜索过程中已访问的结点不再访问。搜索树的若干子树构成了图的强连通分量。

应用到要解决的LCA问题上，则是：对于新搜索到的一个结点 u, 先创建由 u 构成的集合，再对 u 的每颗子树进行搜索，每搜索完一棵子树，这时候子树中所有的结点的最近公共祖先就是 u 了。

算法思想

Tarjan算法基于dfs的框架,对于新搜到的一个结点,首先创建由这个结点构成的集合,再对当前结点的每个子树进行搜索;

每搜索完一棵子树,则可确定子树内的LCA询问都已解决,其他的LCA询问的结果必然在这个子树之外;

这时把子树所形成的集合与当前结点的集合合并,并将当前结点设为这个集合的祖先;

之后继续搜索下一棵子树,直到当前结点的所有子树搜完;

这时把当前结点也设为已被检查过的,同时可以处理有关当前结点的LCA询问;

如果有一个从当前结点到结点v的询问,且v已经被检查过;

则由于进行的是dfs,当前结点与v的最近公共祖先一定还没有被检查;

而这个最近公共祖先的包含v的子树一定已经搜索过了,那么这个最近公共祖先一定是v所在集合的祖先;

算法步骤

对于每一个结点:

建立以u为代表元素的集合;
遍历与u相连的结点v,如果没有被访问过,对于v使用Tarjan_LCA算法,结束后将v的集合并入u的集合;
对于与u有关的询问(u,v),如果v被访问过,则结果就是v所在集合的代表元素;

参考代码:

const int MAXN = 300100;

struct Edge{

    int v, nxt;

    int id;

};

bool vis[MAXN];

int n, q, ecnt, qcnt;

Edge tedge[MAXN * 2], qedge[MAXN * 2];

int thead[MAXN], qhead[MAXN], res[MAXN], par[MAXN];

void init(){

    ecnt = qcnt = 0;

    memset(vis, 0, sizeof(vis));

    memset(tedge, 0, sizeof(tedge));

    memset(qedge, 0, sizeof(qedge));

    memset(thead, -1, sizeof(thead));

    memset(qhead, -1, sizeof(qhead));

}

void addEdge(int *head, Edge *edge, int &cnt, int u, int v, int id){

    edge[cnt].v = v;

    edge[cnt].id = id;

    edge[cnt].nxt = head[u];

    head[u] = cnt++;

}

int Find(int x){

    if(par[x] != x) return par[x] = Find(par[x]);

    return par[x];

}

void Union(int u, int v){

    int fu = Find(u);

    int fv = Find(v);

    par[fu] = fv;

}

void Tarjan(int u){

    par[u] = u;

    vis[u] = true;

    for(int i = thead[u]; i + 1; i = tedge[i].nxt){

        int v = tedge[i].v;

        if(vis[v]) continue;

        Tarjan(v);

        Union(v, u);

    }

    for(int i = qhead[u]; i + 1; i = qedge[i].nxt){

        int v = qedge[i].v;

        int id = qedge[i].id;

        if(!vis[v]) continue;

        res[id] = Find(v);

    }

}

(拓展)运用Tarjan算法求图上两点间最大边

参考代码：

const int MAXN = 50050;

struct Edge{

    int v, nxt;

    int index;

};

bool vis[MAXN];

int Min[MAXN], Max[MAXN];

int ecnt, qcnt, acnt, n, q;

int uu[MAXN], vv[MAXN], val[MAXN];

Edge tedge[2 * MAXN], qedge[2 * MAXN], aedge[2 * MAXN];

int thead[MAXN], qhead[MAXN], ahead[MAXN], par[MAXN], res[MAXN];

void init(){

    ecnt = qcnt = acnt = 0;

    memset(res, 0, sizeof(res));

    memset(val, 0, sizeof(val));

    memset(vis, 0, sizeof(vis));

    memset(tedge, 0, sizeof(tedge));

    memset(qedge, 0, sizeof(qedge));

    memset(aedge, 0, sizeof(aedge));

    memset(thead, -1, sizeof(thead));

    memset(qhead, -1, sizeof(qhead));

    memset(ahead, -1, sizeof(ahead));

}

void addEdge(int *head, Edge *edge, int u, int v, int index, int &cnt){

    edge[cnt].v = v;

    edge[cnt].index = index;

    edge[cnt].nxt = head[u];

    head[u] = cnt++;

}

int Find(int x){

    if(x == par[x]) return par[x];

    int temp = par[x];

    par[x] = Find(par[x]);

    Max[x] = max(Max[x], Max[temp]);

    Min[x] = min(Min[x], Min[temp]);

    return par[x];

}

void Tarjan(int u){

    vis[u] = true;

    par[u] = u;

    for(int i = qhead[u]; i + 1; i = qedge[i].nxt){

        int v = qedge[i].v, index = qedge[i].index;

        if(!vis[v]) continue;

        int lca = Find(v);

        addEdge(ahead, aedge, lca, v, index, acnt);

    }

    for(int i = thead[u]; i + 1; i = tedge[i].nxt){

        int v = tedge[i].v;

        if(vis[v]) continue;

        Tarjan(v);

        par[v] = u;

    }

    for(int i = ahead[u]; i + 1; i = aedge[i].nxt){

        int index = aedge[i].index;

        Find(uu[index]);

        Find(vv[index]);

        res[index] = max(Max[

        res[index] = max(max(Up[uu[index]], Down[vv[index]]), Max[vv[index]] - Min[uu[index]]);

    }

}

简介倍增
LCA

倍增法LCA也是一个求最近公共祖先的在线算法，他利用了二分搜索的思想降低每次寻找最近公共祖先的复杂度，预处理的复杂度为 O(nlog(n)), 每次查询的复杂度为 O(log(n))。

算法流程

初始化所有点的深度和第 2^0, 2^1, 2^2, … 2^n 个祖先；
从深度大的节点上升至深度小的节点同层，如果此时两节点相同直接返回此节点，即lca，否则，利用倍增法找到最小深度的p[a][j]!=p[b][j]，此时他们的父亲p[a][0]即lca。

参考代码:

const int MAXN = 300010;

const int DEG = 20;

struct Edge{

    int v, nxt;

};

int ecnt, n, m;

Edge edge[MAXN * 2];

int fa[MAXN][20];

int head[MAXN], depth[MAXN];

void init(){

    ecnt = 0;

    memset(edge, 0, sizeof(edge));

    memset(head, -1, sizeof(head));

    memset(depth, 0, sizeof(depth));

}

void addEdge(int u, int v){

    edge[ecnt].v = v;

    edge[ecnt].nxt = head[u];

    head[u] = ecnt++;

}

void initfa(int root){

    queue <int> que;

    que.push(root);

    depth[root] = 0;

    fa[root][0] = root;

    while(!que.empty()){

        int u = que.front();

        que.pop();

        for(int i = 1; i < DEG; i++)

            fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];

        for(int i = head[u]; i + 1; i = edge[i].nxt){

            int v = edge[i].v;

            if(v == fa[u][0]) continue;

            depth[v] = depth[u] + 1;

            fa[v][0] = u;

            que.push(v);

        }

    }

}

int LCA(int u, int v){

    if(depth[u] > depth[v]) swap(u, v);

    int du = depth[u], dv = depth[v];

    int tu = u, tv = v;

    for(int det = dv - du, i = 0; det; det >>= 1, i++)

        if(det & 1) tv = fa[tv][i];

    if(tu == tv) return tu;

    for(int i = DEG - 1; i >= 0; i--){

        if(fa[tu][i] == fa[tv][i]) continue;

        tu = fa[tu][i];

        tv = fa[tv][i];

    }

    return fa[tu][0];

}