[CSP-S模拟测试]:环（图论+期望）

题目传送门（内部题79）

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输入格式

　　第一行读入两个整数$n,e$表示节点数及$cwystc$已确定的有向边边数。
　　接下来$e$行，每行两个整数$x,y$描述$cwystc$确定的边。

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输出格式

　　输出一个整数表示期望陪妹子的天数。

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样例

见下发文件

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数据范围与提示

　　对于$30\%$的数据：$n\leqslant 300$
　　对于另外i$20\%$的数据：$e=0$
　　对于另外$20\%$的数据：$e=\frac{n\times (n-1)}{2}$
　　对于$100\%$的数据：$n\leqslant 100,000,e\leqslant 100,000$

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题解

先转化一下题意，即让我们求竞赛图的期望最小环的个数。

而对于一张竞赛图，其要么是一张拓扑图，要么存在一个三元环。

因为该图不存在环，于是问题转化为三元环计数。

考虑容斥，不妨设$p[i]$表示点$i$的出度，那么对于三元组$(i,x,y)\{x\in p[i],y\in p[i],x\neq y\}$不组成三元环，而且这样的三元组只会在第$i$点枚举一次。

不妨再设$q[i]$表示连接点$i$未确定的边数，那么期望要减去：

$$\frac{p[i]\times (p[i]-1)}{2}+p[i]\times \frac{q[i]}{2}+\frac{q[i]\times (1-q[i])}{2}\times \frac{1}{4}$$

时间复杂度：$\Theta(n+e)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
const int two=500000004;
const int six=166666668;
const int eig=125000001;
int n,e;
int du[100001],p[100001],q[100001];
long long ans;
long long qpow(long long x,long long y)
{
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&e);
	while(e--)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		du[x]++;du[y]++;p[x]++;
	}
	ans=1LL*n*(n-1)%mod*(n-2)%mod*six%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		q[i]=n-du[i]-1;
		ans=(ans-1LL*p[i]*(p[i]-1)%mod*two%mod-1LL*p[i]*q[i]%mod*two%mod-1LL*q[i]*(q[i]-1)%mod*eig%mod+mod)%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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rp++