P5599【XR-4】文本编辑器

题目传送门。

题意简述：给定长度为 \(n\) 的文本串 \(a\) 和有 \(m\) 个单词的字典 \(s_i\)。\(q\) 次操作，每次求出字典内所有单词在 \(a[l,r]\) 的出现次数，或将 \(a[l,r]\) 替换为 \(t\) 不断重复的结果。

\(n,\sum |t|\leq10^6\)，\(m,q\leq 10^5\)，\(|s|\leq 50\)，\(\sum |s_i|\leq 2\times 10^5\)。

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假设没有修改操作，且 \(m=1\)，即字典中只有一个单词，记该单词长度为 \(L\)。

一个自然的想法是可以求出对于每个位置 \(i\)，\(a[i-L+1,i]\) 是否匹配 \(s_1\)，记为 \(f_i\ (f_1,f_2,\cdots,f_{L-1}=0)\)，暴力匹配即可。

查询时，因为 \([l,l],[l,l+1],\cdots,[l,l+L-2]\) 长度不够，显然无法匹配 \(s_1\)，又因为 \([x-L+1,x]\ (x\geq l+L-1)\) 匹配时不受小于 \(l\) 的位置的影响，即不会因为 \(a[1,l-1]\) 消失而导致 \([x-L+1,x]\) 的匹配情况改变（由于 \(x\geq l+L-1\)，所以 \(x-L+1\geq l\)）。因此直接查询 \(\sum_{j=x}^rf_j\) 即可。直接前缀和维护可以做到 \(\mathcal{O}(q+nL)\)，使用 KMP 可以优化到 \(\mathcal{O}(q+n)\)。

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Subtask #3：如果有修改操作呢？事情就变得无比麻烦了。昨天尝试写了一下，甚至比正解还难写（doge）。

首先得处理这个循环的 \(t\)。当然，我不知道怎么处理，所以看了眼 s_r_f 的题解。 注意到题目中说 “与文件相比，单词的长度是非常小的（\(L\leq 50\)）”，那么就好好利用一下这个性质。

首先，\(f_{[l,l+L-2]}\) 肯定是没有什么好方法，只能暴力硬做，那么，这一部分的想法是：从 \(l-L+1\) 开始跑 KMP，匹配到 \(l+L-2\) 并暴力更新 \(f_{[l,l+L-2]}\) 即可。为什么要从 \(l-L+1\) 而不是 \(l\) 开始跑：\(f_l\) 是与 \(a_{l-L+1}\) 有关的，所以从 \(l\) 开始跑会导致 \(f_{[l,l+L-2]}\) 全为 \(0\)，这显然是错误的。

同样的，对于 \(f_{[r+1,r+L-1]}\)，从 \(r-L+2\) 开始跑 KMP，一直匹配到 \(r+L-1\) 并暴力更新 \(f_{[r+1,r+L-1]}\) 即可。

接下来处理中间那一大坨循环的 \(t\)，记其长度为 \(T\)。有一个并不显然但很好理解，同时也是最关键的性质：修改过后，\(f_i=f_{i+T}\ (l+L-1\leq i\leq r-T+1)\)，也就是这部分 \(f\) 会产生长度为 \(T\) 的循环节。根据题目所给条件，有 \(a_{[i,i-L+1]}=a_{[i+T,(i+T)-L+1]}\)（\(i\) 的范围同上），所以显然。因此，求出循环节并用线段树维护即可。

当然，说起来简单，还有很多需要注意的地方：

• Q1：如何维护循环节？

  A1：一个循环节信息主要就是循环节的开头位置，长度和循环节内每个位置的值。 因此，需要维护每一个循环节 \(id\)（表示这是第 \(id\) 次修改形成的循环节）的开头位置 \(lp_{id}\)，长度 \(len_{id}\)，以及每一个位置 \(i\) 上的值 \(d_{id,i}\)。循环节内位置从 \(0\) 开始标号。

  在线段树区间 \([l,r]\) 的懒标记内维护两个信息：\(id\) 和 \(hd\)。\(id\) 表示该标记是第 \(id\) 次修改形成的循环节（不是第 \(id\) 个循环节），\(hd\) 表示该区间的起始位置 \(l\) 在该循环节中的位置。

  在 pushdown 的时候，假设我们传入了三个参数 \(l,r,x\) 表示从区间 \([l,r]\) 下传，该区间在线段树内编号为 \(x\)。先求出左区间和右区间的分界点 \(m=\lfloor\frac{l+r}{2}\rfloor\)，再求出右区间 \([m+1,r]\) 的起始位置 \(m+1\) 在循环节的位置，记为 \(mid\)，则不难求出 \(mid=(hd+(m+1)-l)\bmod len_{id}\)，然后将 \(id,hd\) 与 \(id,mid\) 的懒标记分别赋给 \([l,m]\) 与 \([m+1,r]\)，并更新其维护的区间 \(f\) 之和：

    void push(int l,int r,int x){ // pushdown
    	if(laz[x].id){
    		int m=l+r>>1;
    		int id=laz[x].id,hd=laz[x].hd;
    		int mid=(hd+(m-l+1))%len[id];
    		mark(l,m,x<<1,id,hd);
    		mark(m+1,r,x<<1|1,id,mid);
    		val[x]=val[x<<1]+val[x<<1|1];
    		laz[x].id=0;
    	}
    }
  

  其中 mark(l,r,x,id,hd) 表示给在线段树内编号为 \(x\) 的区间 \([l,r]\) 打上 \(id,hd\) 的懒标记。此时我们求出该区间末位置在循环节 \(id\) 中的位置 \(tl=(hd+(r-l))\bmod len_{id}\)，并求出 \([l,r]\) 间共有多少个循环节 \(id\)，然后更新即可。

   void mark(int l,int r,int x,int id,int hd){ // mark lazytag & update
    	laz[x]={id,hd};
    	int ori=l-hd,tl=(r-ori)%len[id],rid=(r-ori)/len[id];
    	if(rid==0)val[x]=pre[id][tl]-(hd?pre[id][hd-1]:0);
    	else val[x]=pre[id][tl]+(rid*sum[id]-(hd?pre[id][hd-1]:0));
    }
  

  一些代码说明：\(ori\) 表示 \(l\) 所在的循环节的开头，并假设其为第 \(0\) 个循环节。\(rid\) 表示 \(r\) 在第 \(rid\) 个循环节内。需要注意的是，这里的 \(pre_{id,i}\) 是 \(pre_{id}\) 的前缀和。\(sum_{id}\) 表示循环节 \(id\) 所有位置上的和，即 \(sum_{id}=pre_{id,len_{id}-1}\)。

• Q2：暴力匹配时怎么求出 \(a\) 当前的内容？

  首先，需要求出的 \(a\) 是一段区间，设其为 \([l,r]\)。那么在线段树上按序遍历每一个区间 \([x,x]\ (l\leq x\leq r)\)。具体来说，就算当前区间 \([l',r']\subseteq[l,r]\) 也不返回，直到访问到叶子结点 \([x,x]\)。可以证明这样访问的时间复杂度为 \(\mathcal{O}(\log n+len)\)。又因为需要求出的长度不超过 \(2L\)，因此总时间复杂度为 \(\mathcal{O}(q(\log n+L))\)。

  若该区间有标记 \(id,hd\)，那么该位置上的字符应为 \(t_{id,hd}\)，即第 \(id\) 次修改时给出的字符串 \(t_{id}\) 的第 \(hd\) 个位置上的字符。否则该位置上的字符应为 \(a_x\)。

    void forms(int l,int r,int ql,int qr,int x){ // form current string [ql,qr]
    	if(ql>qr)return;
    	if(l==r){
    		if(laz[x].id)tmp+=qt[laz[x].id][laz[x].hd];
    		else tmp+=ct[l-1];
    		return;
    	} int m=l+r>>1; push(l,r,x);
    	if(ql<=m)forms(l,m,ql,qr,x<<1);
    	if(m<qr)forms(m+1,r,ql,qr,x<<1|1);
    }
  

• Q3：暴力匹配求出 \(f\) 后怎么在线段树上修改？

  A3：同样，需要更新的 \(f\) 也是一段区间 \([l,r]\)。如法炮制，按序遍历每一个区间 \([x,x]\ (l\leq x\leq r)\)，并修改 \(f\) 的值即可。

  由于求出 \(a\) 的内容时需要每个节点的标记，而暴力修改 \(f\) 的位置有的需要打标记，如 \([l,l+L-2]\)，有的不需要，如 \([r+1,r+L-1]\)，所以需要分情况讨论。

    void modifyc(int l,int r,int ql,int qr,int x,bool tg){ // brute force : change
    	if(ql>qr)return;
    	if(l==r){
    		val[x]=f[l];
    		if(tg)laz[x]={id,(l-lpos)%len[id]};
    		return;
    	} int m=l+r>>1; push(l,r,x);
    	if(ql<=m)modifyc(l,m,ql,qr,x<<1,tg);
    	if(m<qr)modifyc(m+1,r,ql,qr,x<<1|1,tg);
    	val[x]=val[x<<1]+val[x<<1|1];
    }
  

还有一些注意点（踩过的坑）：

• 正如 s_r_f 所说，为了使代码更简洁，我们可以将左边暴力匹配的区间 \([l-L+1,l+L-2]\) 的右端点向右稍微移动一点，使得新的右端点 \(led\) 刚好是一段循环节的结尾。同时，为了求出循环节，还要再向右匹配 \(T\) 个位置。
• 如果区间的长度太小，可以直接暴力匹配。
• 需要先求出 \(sum_{id}\) 再更新，因为更新时需要用到 \(sum_{id}\)。

这样，时间复杂度为 \(\mathcal(q(\log n+L)+\sum T)\)。

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看到这里，你可能以为我已经讲完了。实际上并没有，这只是 \(m=1\) 的部分分。不过别担心，只要你会 AC 自动机，那么 \(m\) 为多少都不是问题。

注意到字典是固定的，所以我们对其建立 AC 自动机。那么只需要将 \(f_i\) 的定义改为：将 \(a[1,i]\) 放在 AC 自动机上跑到的位置 \(p\) 在 fail 树上与根节点之间的路径所包含的终止节点个数 \(val_p\)。即 \(val_p=\sum_{i=1}^m [endpos_i\in \mathrm{path}(p,root)]\)。一个套路的方法是将所有终止节点在 fail 树上的子树的 \(val\) 值 \(+1\)，这样可以 \(\mathcal{O}(1)\) 求 \(f_i\)。如果不理解上述方法，P5357，请。

注意到 \(f_i\) 定义中的 \(a[1,i]\) 可以改成 \(a[i-L+1,i]\ (L=\max|s_j|)\)，因为任何一个单词 \(s_j\) 与 \(a\) 在位置 \(i\) 的匹配情况不会受到 \(a_x\ (x\leq i-L)\) 的影响（最长的单词与 \(a\) 在位置 \(i\) 的匹配的第一个位置为 \(i-L+1\)）。

剩下来就和 \(m=1\) 几乎一模一样，只不过在暴力匹配时的方式从跑 KMP 变成了跑 AC 自动机。总时间复杂度 \(\mathcal{O}(\sum|s_i|+\sum|t_i|+q(\log n+L))\)，其中 \(L=\max |s_i|\)。

/*
	Powered by C++11.
	Author : Alex_Wei.
*/

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long

const int N=1e6+5;
const int L=50+5;
const int Q=1e5+5;
const int S=2e5+5;

// basic variables
int lc,nw,q;
ll mp[1<<7],f[N];
string ct;

struct ACAM{
	int cnt,son[S][62],fa[S],val[S];
	void ins(string s){
		int p=0;
		for(char it:s){
			if(!son[p][mp[it]])son[p][mp[it]]=++cnt;
			p=son[p][mp[it]];
		} val[p]++;
	} void build(){
		queue <int> q;
		for(int i=0;i<62;i++)if(son[0][i])q.push(son[0][i]);
		while(!q.empty()){
			int t=q.front(); q.pop();
			for(int i=0;i<62;i++)
				if(son[t][i])fa[son[t][i]]=son[fa[t]][i],q.push(son[t][i]);
				else son[t][i]=son[fa[t]][i];
			val[t]+=val[fa[t]];
		}
	} void run(){ // get f
		int p=0;
		for(int i=1;i<=lc;i++)f[i]=val[p=son[p][mp[ct[i-1]]]];
	}
}ac;

// query variables
ll id,len[Q],sum[Q];
vector <ll> pre[Q];
string qt[Q];

// lazytag & Segment Tree
string tmp;
struct lazy{
	int id,hd;
}; struct SegTree{
	ll val[N<<2],lpos;
	lazy laz[N<<2];
	void build(int l,int r,int x){
		if(l==r){
			val[x]=f[l];
			return;
		} int m=l+r>>1;
		build(l,m,x<<1),build(m+1,r,x<<1|1);
		val[x]=val[x<<1]+val[x<<1|1];
	} void mark(int l,int r,int x,int id,int hd){ // mark lazytag & update
		laz[x]={id,hd};
		int ori=l-hd,tl=(r-ori)%len[id],rid=(r-ori)/len[id];
		if(rid==0)val[x]=pre[id][tl]-(hd?pre[id][hd-1]:0);
		else val[x]=pre[id][tl]+(rid*sum[id]-(hd?pre[id][hd-1]:0));
	} void push(int l,int r,int x){ // pushdown
		if(laz[x].id){
			int m=l+r>>1;
			int id=laz[x].id,hd=laz[x].hd;
			int mid=(hd+(m-l+1))%len[id];
			mark(l,m,x<<1,id,hd);
			mark(m+1,r,x<<1|1,id,mid);
			laz[x].id=0;
		}
	} void modifyt(int l,int r,int ql,int qr,int x){ // tag
		if(ql<=l&&r<=qr){
			mark(l,r,x,id,(l-lpos)%len[id]);
			return;
		} int m=l+r>>1; push(l,r,x);
		if(ql<=m)modifyt(l,m,ql,qr,x<<1);
		if(m<qr)modifyt(m+1,r,ql,qr,x<<1|1);
		val[x]=val[x<<1]+val[x<<1|1];
	} void modifyc(int l,int r,int ql,int qr,int x,bool tg){ // brute force : change
		if(ql>qr)return;
		if(l==r){
			val[x]=f[l];
			if(tg)laz[x]={id,(l-lpos)%len[id]};
			return;
		} int m=l+r>>1; push(l,r,x);
		if(ql<=m)modifyc(l,m,ql,qr,x<<1,tg);
		if(m<qr)modifyc(m+1,r,ql,qr,x<<1|1,tg);
		val[x]=val[x<<1]+val[x<<1|1];
	} ll query(int l,int r,int ql,int qr,int x){
		if(ql>qr)return 0;
		if(ql<=l&&r<=qr)return val[x];
		ll m=l+r>>1,ans=0; push(l,r,x);
		if(ql<=m)ans+=query(l,m,ql,qr,x<<1);
		if(m<qr)ans+=query(m+1,r,ql,qr,x<<1|1);
		return ans;
	} void forms(int l,int r,int ql,int qr,int x){ // form current string [ql,qr]
		if(ql>qr)return;
		if(l==r){
			if(laz[x].id)tmp+=qt[laz[x].id][laz[x].hd];
			else tmp+=ct[l-1];
			return;
		} int m=l+r>>1; push(l,r,x);
		if(ql<=m)forms(l,m,ql,qr,x<<1);
		if(m<qr)forms(m+1,r,ql,qr,x<<1|1);
	}
}st;

int main(){
//	freopen("P5599_5.in","r",stdin);
//	freopen("P5599_5.out","w",stdout);
	// mp
	for(int i='A';i<='Z';i++)mp[i]=i-'A';
	for(int i='a';i<='z';i++)mp[i]=26+(i-'a');
	for(int i='0';i<='9';i++)mp[i]=52+(i-'0');

	// read & init
	cin>>lc>>nw>>q>>ct;
	for(int i=1;i<=nw;i++){
		string wrd;
		cin>>wrd,ac.ins(wrd);
	} ac.build(),ac.run(),st.build(1,lc,1);

	// solve
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int op,l,r,ls; scanf("%d%d%d",&op,&l,&r),ls=r-l+1,st.lpos=l;
		if(op==1){
			ll rpos=min(r,l+L),ans=0,p=0;
			tmp="",st.forms(1,lc,l,rpos,1);
			for(int i=l;i<=rpos;i++)ans+=ac.val[p=ac.son[p][mp[tmp[i-l]]]];
			printf("%lld\n",ans+st.query(1,lc,rpos+1,r,1));
		} else{
			string t; cin>>t,len[++id]=t.size(),pre[id].resize(len[id]);
			int lpos=max(1,l-L+1),rpos=min(lc,r+L-1),p=0;
			if(ls<=L*2+len[id]*2){
				tmp="",st.forms(1,lc,lpos,rpos,1); // get current string
				for(int i=lpos;i<=rpos;i++){
					char it=(i<l||i>r?tmp[i-lpos]:t[(i-l)%len[id]]);
					p=ac.son[p][mp[it]];
					if(i>=l)f[i]=ac.val[p];
				} st.modifyc(1,lc,l,r,1,1),st.modifyc(1,lc,r+1,rpos,1,0);
			} else{
				// front section : [l-L+1,l+L-1]
				int led=l+L-1,rbg=r-L+1;
				while((led-l)%len[id])led++;
				tmp="",st.forms(1,lc,lpos,l-1,1);
				for(int i=lpos;i<led+len[id];i++){
					char it=(i<l?tmp[i-lpos]:t[(i-l)%len[id]]);
					p=ac.son[p][mp[it]];
					if(i>=l){
						if(i<led)f[i]=ac.val[p];
						else pre[id][i-led]=(i>led?pre[id][i-led-1]:0)+ac.val[p];
					}
				} sum[id]=pre[id][len[id]-1];
				st.modifyc(1,lc,l,led-1,1,1),st.modifyt(1,lc,led,r,1);

				// back section
				tmp="",st.forms(1,lc,r+1,rpos,1),p=0;
				for(int i=rbg;i<=rpos;i++){
					char it=(i>r?tmp[i-r-1]:t[(i-l)%len[id]]);
					p=ac.son[p][mp[it]];
					if(i>r)f[i]=ac.val[p];
				} st.modifyc(1,lc,r+1,rpos,1,0);
			} qt[id]=t;
		}
	}

	return 0;
}