洛谷 P5331 - [SNOI2019]通信（CDQ 分治优化建图+费用流）

题面传送门

首先熟悉网络流的同学应该能一眼看出此题的建模方法：

• 将每个点拆成两个点 \(in_i,out_i\)，连一条 \(S\to in_i\)，容量为 \(1\) 费用为 \(0\) 的边
• 连一条 \(in_i\to T\) 容量为 \(1\) 费用为 \(W\) 的边，表示哨站 \(i\) 连向控制中心
• 连一条 \(out_i\to T\) 容量为 \(1\) 费用为 \(0\) 的边，表示每个哨站最多被后面一个哨站连接
• 对每对 \(i,j(i>j)\) 连一条 \(in_i\to out_j\) 容量为 \(1\) 费用为 \(|a_i-a_j|\) 的边，表示哨站 \(i\) 连向哨站 \(j\)

然后跑最小费用最大流即可，最大流保证每个哨站都要么连向控制中心，要么连向了前面某个哨站，要么连向了控制中心，最小费用保证费用最小。

然后你兴高采烈地开始码，码好了，测过了样例，交上去……T 了？

不难发现在这个做法中边数最高可达到 \(n^2=10^6\)，这显然是费用流所承受不了的。因此考虑优化建边。不过按照传统的线段树优化建图的方法是不太可行的，因为这里既涉及到下标的大小关系 \(i>j\)，又涉及到值的大小关系（因为边权中带一个绝对值），也就是说这玩意儿实际上可以视作一个二维偏序，考虑求解 \(k\) 维偏序的时候用到的一个技巧——cdq 分治。每次递归到区间 \([l,r]\) 时候，记 \(mid=\lfloor\dfrac{l+r}{2}\rfloor\)，我们就从 \([mid+1,r]\) 向 \([l,mid]\) 连边，我们将 \(a_l,a_{l+1},a_{l+2},\cdots,a_r\) 从小到大排序并去重，假设为 \(b_1,b_2,\cdots,b_m\)，我们对每个 \(b_i\) 新建一个虚点 \(pt_i\)，然后在 \(pt_i\) 与 \(pt_{i+1}\) 之间连费用为 \(b_{i+1}-b_i\) 的双向边，然后对 \(i\in[l,mid]\) 找出满足 \(b_j=a_i\) 的 \(j\) 然后连 \(pt_j\to out_i\)，\(i\in[mid+1,r]\) 也同理，只不过是从 \(in_i\) 向 \(pt_j\) 连边。不难发现这种建图方法与暴力是等价的，边数也降到了 \(n\log n\) 级别，可以通过此题。

这是蒟蒻第一次遇到这种建图方法哦，不喜勿喷~

const int MAXN=1e3;
const int MAXV=2e4;
const int MAXE=1e5*2;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,W,S=1,T=2,ncnt=2,a[MAXN+5],p1[MAXN+5],p2[MAXN+5];
int hd[MAXV+5],to[MAXE+5],nxt[MAXE+5],cap[MAXE+5],cst[MAXE+5],ec=1;
void adde(int u,int v,int f,int c){
	to[++ec]=v;cap[ec]=f;cst[ec]=c;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;
	to[++ec]=u;cap[ec]=0;cst[ec]=-c;nxt[ec]=hd[v];hd[v]=ec;
} int flw[MAXV+5],pre[MAXV+5],lste[MAXV+5];ll dis[MAXV+5];
bool inq[MAXV+5];
bool getdis(){
	memset(dis,63,sizeof(dis));memset(flw,0,sizeof(flw));
	dis[S]=0;flw[S]=INF;queue<int> q;q.push(S);inq[S]=1;
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();q.pop();inq[x]=0;
		for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
			int y=to[e],z=cap[e],w=cst[e];
			if(z&&dis[y]>dis[x]+w){
				dis[y]=dis[x]+w;flw[y]=min(flw[x],z);
				pre[y]=x;lste[y]=e;
				if(!inq[y]){inq[y]=1;q.push(y);}
			}
		}
	} return dis[T]<0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
}
pair<int,ll> mcmf(){
	int mxfl=0;ll mncst=0;
	while(getdis()){
		mxfl+=flw[T];mncst+=flw[T]*dis[T];
		for(int i=T;i^S;i=pre[i]){
			cap[lste[i]]-=flw[T];cap[lste[i]^1]+=flw[T];
		}
	} return mp(mxfl,mncst);
}
int b[MAXN+5];
void build(int l,int r){
	if(l==r) return;int mid=l+r>>1;
	build(l,mid);build(mid+1,r);int cnt=0;
	for(int i=l;i<=r;i++) b[++cnt]=a[i];
	sort(b+1,b+cnt+1);cnt=unique(b+1,b+cnt+1)-b-1;
	for(int i=1;i<cnt;i++){
		adde(ncnt+i,ncnt+i+1,INF,b[i+1]-b[i]);
		adde(ncnt+i+1,ncnt+i,INF,b[i+1]-b[i]);
	}
	for(int i=l;i<=r;i++){
		int pos=lower_bound(b+1,b+cnt+1,a[i])-b;
		if(i>mid) adde(p1[i],ncnt+pos,1,0);
		else adde(ncnt+pos,p2[i],1,0);
	} ncnt+=cnt;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&W);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) p1[i]=++ncnt;
	for(int i=1;i<=n;i++) p2[i]=++ncnt;
	for(int i=1;i<=n;i++) adde(S,p1[i],1,0),adde(p2[i],T,1,0),adde(p1[i],T,1,W);
	build(1,n);printf("%lld\n",mcmf().se);
	return 0;
}