Solution -「Gym 102956F」Find the XOR

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的连通无向图 \(G\)，边有边权。其中 \(u,v\) 的距离 \(d(u,v)\) 定义为 \(u\) 到 \(v\) 的最大异或路径。还有 \(q\) 次询问，每次给出 \(l,r\)，求 \(\bigoplus_{l\le i<j\le r}d(i,j)\)。

  \(n,m,q\le10^5\)，边权 \(w<2^{30}\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  首先必然套用这个经典永流传的结论：设所有环的异或和构成空间 \(V\)，\(d'(u,v)\) 为 \(u\) 到 \(v\) 的任意一条路径的异或和，则 \(d(u,v)=\max\{d'(u,v)\oplus x\mid x\in V\}\)。

  记变换 \(F_V:x\rightarrow \max\{x\oplus v\mid v\in V\}\)，由于它不具有线性性，我们拆开 \(d(u,v)\) 的 \(\max\) 进行优化就显得困难。不过，考查与之类似的另一个变换 \(G_V:x\rightarrow\min\{x\oplus v\mid v\in V\}\)，能够证明 \(G_V\) 是线性变换，且会得到一个炫酷的结论：\(F_V(x)=G_V(x)\oplus\max\{v\mid v\in V\}\)。

证明

  把 $x$ 等元素视为 $U=\{0,1\}^k$ 下的向量。设 $\boldsymbol x=\begin{pmatrix}x_0& x_1&\cdots& x_{k-1}\end{pmatrix}$，取 $U$ 的子空间 $V$ 的线性基 $\mathcal B$，令
$$
\mathcal B=\begin{pmatrix}\boldsymbol b_0\\ \boldsymbol b_1\\ \vdots \\ \boldsymbol b_{k-1}\end{pmatrix},
$$
其中 $\boldsymbol b_i=\begin{pmatrix} b_{i,0} & b_{i,1}&\cdots& b_{i,k-1} \end{pmatrix}$，且有 $\forall j\lt i,b_{i,j}=0$。此时考虑 $\boldsymbol x\mathcal B^T$ 的意义：若 $\boldsymbol x$ 某一分量为 $1$，则加上（即异或上）线性基中的对应向量，很显然就是在线性基中构造 $\min\{x\oplus v\mid v\in V\}$ 的方式，所以 $G_V$ 是一个线性变换。 $\square$

  “炫酷结论”就不证了，自证不难。

  回到题目，处理一下式子：

\[\begin{aligned}\bigoplus_{l\le i<j\le r}d(i,j) &= \bigoplus_{l\le i<j\le r}d'(i,j)\oplus G_V(d'(i,j))\oplus \max\{v\mid v\in V\}\\&= \left(\binom{r-l+1}{2}\otimes\max\{v\mid v\in V\}\right)\oplus G_V\left( \bigoplus_{l\le i<j\le r}d'(i,j) \right).\end{aligned}
\]

抵消掉大量重复异或之后直接计算即可。复杂度 \(\mathcal O(n+(m+q)\log w)\)。

\(\mathcal{Code}\)

/*~Rainybunny*/

#include <bits/stdc++.h>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )

const int MAXN = 1e5;
int n, m, q, ecnt, head[MAXN + 5], dis[MAXN + 5];
bool vis[MAXN + 5];

struct Edge { int to, val, nxt; } graph[MAXN * 2 + 5];

struct XorLinearBasic {
    static const int W = 30;
    int bas[W];

    inline void insert( int v ) {
        per ( i, W, 0 ) if ( v >> i & 1 ) {
            if ( !bas[i] ) return void( bas[i] = v );
            v ^= bas[i];
        }
    }

    inline int ask( int v, const bool tar ) {
        per ( i, W, 0 ) if ( ( v >> i & 1 ) != tar ) v ^= bas[i];
        return v;
    }
} xlb;

inline void link( const int u, const int v, const int w ) {
    graph[++ecnt] = { v, w, head[u] }, head[u] = ecnt;
    graph[++ecnt] = { u, w, head[v] }, head[v] = ecnt;
}

inline void getCir( const int u ) {
    vis[u] = true;
    for ( int i = head[u], v; i; i = graph[i].nxt ) {
        if ( vis[v = graph[i].to] ) {
            xlb.insert( dis[u] ^ dis[v] ^ graph[i].val );
        } else {
            dis[v] = dis[u] ^ graph[i].val, getCir( v );
        }
    }
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio( false ), std::cin.tie( 0 );

    std::cin >> n >> m >> q;
    rep ( i, 1, m ) {
        int u, v, w; std::cin >> u >> v >> w;
        link( u, v, w );
    }

    getCir( 1 );
    rep ( i, 1, n ) dis[i] ^= dis[i - 1];

    for ( int l, r; q--; ) {
        std::cin >> l >> r;
        std::cout << xlb.ask( ( r - l ) & 1 ? dis[r] ^ dis[l - 1] : 0,
          ( r - l + 1ll ) * ( r - l ) >> 1 & 1 ) << '\n';
    }
    return 0;
}