[hdu7034]Array

令$f(a)_{i}=\min_{i<j\le n,a_{i}=a_{j}}j$​​（特别的，若不存在$j$​​则令$f(a)_{i}=n+1$​​），则有以下性质：

1.对于$b_{i}$​​​​​​​，存在$a_{i}$​​​​​​​使得$f(a)=b$​​​​，当且仅当$i<b_{i}$​​​​且不为$n+1$的$b_{i}$互不相同（以下称这样的$b_{i}$​​​​​​​合法）

2.合法的$b_{i}$​可以唯一确定$a_{i}$​​（仅关心权值是否相同，即$a_{i}\ne a'_{i}$当且仅当$\exists i\ne j,[a_{i}=a_{j}]\ne [a'_{i}=a'_{j}]$）

通过这两个性质，问题即判定是否存在合法的$b_{i}$，使得其（唯一）对应的$a_{i}$满足题中的条件

而题中的条件从$b_{i}$​​​的角度来看，实际上是这样的：令$\forall 1\le i<n,B_{i+1}=\max(B_{i},b_{i})$且$B_{1}$为最后一个之前没有出现过的数位置，也即$\max_{1\le i\le n且\forall 1\le j\le n,b_{j}\ne i}i$

考虑从后往前贪心确定$b_{i}$​​（其中$1\le i<n$​​），并维护以下两个集合：

1.$A_{0}$​​表示强制存在的元素（初始为$(B_{1},n]$​​​，若$b_{i}\in A_{0}$则将其从$A_{0}$​中删除）

2.$A_{1}$表示允许存在的元素（初始为$[1,B_{1})\cup\{n+1\}$，若$b_{i}\in A_{1}$且$b_{i}\le n$则将其从$A_{1}$中删除）

下面，再分类讨论：

1.若$B_{i}<B_{i+1}$​，则$b_{i}=B_{i+1}$​（注意判定$b_{i}>i$）

2.若$B_{i}=B_{i+1}$​，则要求$i<b_{i}\le B_{i}$​，注意到该区间的左端点单调递增，因此用set维护$A_{0}$​和$A_{1}$​，分别不断删除最小值（若删除$A_{0}$​的最小值则无解）直至最小值$>i$​​

进一步的，再分类讨论：

(1)若两者的最小值都不能选择，则无解（还有$\le B_{i}$​的限制）

(2)若只有一个最小值可以选择，显然选择该最小值即可

(3)若两个最小值都可以选择，设分别为$x$和$y$，将两者的都删除并将$\max(x,y)$加入$A_{1}$​

关于(3)的解释：注意到右端点单调不下降，因此最终$\min(x,y)$​能选择那么$\max(x,y)$​一定能选择

若$x<y$​​显然可以这样贪心，若$x>y$​​即要求$x=\max(x,y)$​​一定被选择，如果最终$x$​​被选择显然没有影响，若未被选择那么不妨将$b_{i}$​​修改为$x$​​​即可

（注意特判$B_{1}>n$的情况）

由此维护即可，时间复杂度为$o(n\log n)$，可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 200005
 4 set<int>A0,A1;
 5 int t,n,B[N];
 6 void del(int x){
 7     if (x>n)return;
 8     if (A0.find(x)!=A0.end())A0.erase(x);
 9     else A1.erase(x);
10 }
11 int main(){
12     scanf("%d",&t);
13     while (t--){
14         scanf("%d",&n);
15         for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&B[i]);
16         bool flag=(B[1]>n);
17         for(int i=1;i<=n;i++)
18             if (B[i]<i){
19                 flag=1;
20                 break;
21             }
22         if (flag){
23             printf("NO\n");
24             continue;
25         }
26         A0.clear(),A1.clear();
27         for(int i=B[1]+1;i<=n;i++)A0.insert(i);
28         for(int i=1;i<B[1];i++)A1.insert(i);
29         A1.insert(n+1);
30         for(int i=1;i<n;i++){
31             if (B[i]<B[i+1])del(B[i+1]);
32             else{
33                 if ((!A0.empty())&&((*A0.begin())<=i)){
34                     flag=1;
35                     break;
36                 }
37                 while ((*A1.begin())<=i)A1.erase(A1.begin());
38                 int x=0,y=(*A1.begin());
39                 if ((!A0.empty())&&((*A0.begin())<=B[i]))x=(*A0.begin());
40                 if (y>B[i])y=0;
41                 if ((!x)&&(!y)){
42                     flag=1;
43                     break;
44                 }
45                 if (x)del(x);
46                 if (y)del(y);
47                 if ((x)&&(y))A1.insert(max(x,y));
48             }
49         }
50         if (!A0.empty())flag=1;
51         if (flag)printf("NO\n");
52         else printf("YES\n");
53     }
54     return 0;
55 }