求最短路径算法之SPAF算法。

关于求最短路径：

求最短路径的算法有许多种，除了排序外，恐怕是OI界中解决同一类问题算法最多的了。最熟悉的无疑是Dijkstra（不能求又负权边的图），接着是Bellman-Ford，它们都可以求出由一个源点向其他各点的最短路径；如果我们想要求出每一对顶点之间的最短路径的话，还可以用Floyd-Warshall。

关于松弛：

松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对i,j进行松弛，就是判定是否d[j]>d[i]+w[i,j]，如果该式成立则将d[j]减小到d[i]+w[i,j]，否则不动。

SPFA简介：

求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm，该算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的（一看到这点就觉得西南交大碉堡了）。它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2，可以处理负边，但无法处理带负环的图（负环和负边不是一个概念）。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单。

SPFA算法过程：

我们记源点为S，由源点到达点i的“当前最短路径”为D[i]，开始时将所有D[i]初始化为无穷大，D[S]则初始化为0。算法所要做的，就是在运行过程中，不断尝试减小D[]数组的元素，最终将其中每一个元素减小到实际的最短路径。

过程中，我们要维护一个队列，开始时将源点置于队首，然后反复进行这样的操作，直到队列为空：

(1)从队首取出一个结点u，扫描所有由u结点可以一步到达的结点，具体的扫描过程，随存储方式的不同而不同；

(2)一旦发现有这样一个结点，记为v，满足D[v] > D[u] + w(u, v)，则将D[v]的值减小，减小到和D[u] + w(u, v)相等。其中，w(u, v)为图中的边u-v的长度，由于u-v必相邻，所以这个长度一定已知（不然我们得到的也不叫一个完整的图）；这种操作叫做松弛。

(3)上一步中，我们认为我们“改进了”结点v的最短路径，结点v的当前路径长度D[v]相比于以前减小了一些，于是，与v相连的一些结点的路径长度可能会相应地减小。注意，是可能，而不是一定。但即使如此，我们仍然要将v加入到队列中等待处理，以保证这些结点的路径值在算法结束时被降至最优。

判断有无负环：
如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

SPFA算法过程图解：

如下图求从源点a到其他点的最短路径：

1、首先建立起始点a到其余各点的最短路径表格，将源点元素（a）入队列：

 

2、源点元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时路径表格状态为：

  

注意这里b，c，d都使d[]数组的值变小了，且不在queue队列中，所有入队。

3、队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e点），此时路径表格状态为：

    

4、队首元素c点出队，对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有e,f两个点），此时路径表格状态为：

 

注意此时e在队列中，所以e不用再次入队列形成 d e f e这种队列形式，如这样会增加冗余运算。

5、队首元素d点出队，对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：

   

6、队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有g这个点），因为d[e]+map[e][g](e到g点的距离)>d[g],故g不进队列，再说g本来就在队列里面了-，-此时队列的状态：

7、队首元素f点出队，对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有d，e，g三个点），此时路径表格状态为：

       

d点使路径表d[d]的值变大了，不如队列； e，f的最短路径估值变小了，e在队列中存在，f不存在。因此e不用入队了，f要入队。

8、队首元素g点出队，对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有b点），此时路径表格状态为：

         

9、队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：

         

d[e]+map[e][g]>d[g],故g不入队列

10、队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e这个点），此时路径表格状态为：

     

当队列为空了，即计算出了从源点带所有点的最短距离， 由上表知：

a到b的最短路径是17；

关于算法能否结束？

由上面的演示我们知道，当queue为空的时候，我们就得出结果了。那是否存在queue不为空的时候呢，答案是肯定的。

对于不存在负权回路的图来说，上述算法是一定会结束的。因为算法在反复优化各个最短路径长度，总有一个时刻会进入“无法再优化”的局面，此时一旦队列读空，算法就结束了。然而，如果图中存在一条权值为负的回路，就糟糕了，算法会在其上反复运行（因为d[]加上一个负数肯定变下了，所以在有负环的情况下，会不断有数进入队列），通过“绕圈”来无休止地试图减小某些相关点的最短路径值。假如我们不能保证图中没有负权回路，一种“结束条件”是必要的。这种结束条件是什么呢？
      思考Bellman-Ford算法，它是如何结束的？显然，最朴素的Bellman-Ford算法不管循环过程中发生了什么，一概要循环|V|-1遍才肯结束。凭直觉我们可以感到，SPFA算法“更聪明一些”，就是说我们可以猜测，假如在SPFA中，一个点进入队列——或者说一个点被处理——超过了|V|次，那么就可以断定图中存在负权回路了。

参考资料：

百度百科： SPFA  、 dijstra算法。

博客：http://blog.csdn.net/kg_second/article/details/7894298

www.cnblogs.com/zgmf_x20a/archive/2008/12/18/1357737.html