BZOJ1478 Sgu282 Isomorphism
Problem A: Sgu282 Isomorphism
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题解:
一眼可以看出这是置换群吧,但是它要求的是边置换,开始感觉没什么思路,但是想想一条边由(u,v)两个点构成
于是我们有了新的思路:考虑将点置换转换为边置换
我们可以发现点置换转化为的边置换同样具有相应的循环节
于是考虑使用polya定理解决这个问题
L:表示一个循环的大小; C:表示循环节的个数;
首先对于一条边(u,v)它要分为两种情况:
(1)u,v不在在同一个点循环,于是对于这条边所在的循环的大小为Lu-v=lcm(Lu,Lv),Cu-v=(Lu*Lv)/lcm(Lu,Lv)=gcd(Lu,Lv);
(2) u,v在同一个点循环,于是分奇数和偶数进行讨论:
一共C(L,2)条边 注:此处C为组合数
1.奇数:Li是奇数,每个循环覆盖Li条边;循环节个数:
2.偶数:Li是偶数,一个特例:覆盖Li/2条边的循环;循环节个数:
(3)由上可知循环节个数:
•实际N!个点置换中,有多少个 结构呢?
(4由上求出答案即可:
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define N 70
using namespace std;
ll n,m,p;
ll num[N],l[N],bin[N];
ll ans;
ll read()
{
ll x=,f=; char ch;
while (ch=getchar(),ch<''||ch>'') if (ch=='-') f=-;
while (x=x*+ch-'',ch=getchar(),ch>=''&&ch<='');
return x*f;
}
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll ksm(int x,int k){ll res=; for (int i=k; i; i>>=,x=1ll*x*x%p) if (i&) res=1ll*res*x%p; return res;
}
void cal(int k)
{
ll s=;
for (int i=; i<=n; i++) num[i]=;
for (int i=; i<=k ;i++) num[l[i]]++;
for (int i=; i<=k; i++) s=s*l[i]%p;
for (int i=; i<=n; i++) s=s*bin[num[i]]%p;
int c=;
for (int i=; i<=k; i++)
{
c+=l[i]/;
for (int j=i+; j<=k; j++) c+=gcd(l[i],l[j]);
}
ans=(ans+ksm(m,c)*bin[n]%p*ksm(s,p-)%p)%p;
}
void dfs(int x,int k,int last)
{
if (x==n+) {cal(k-); return;}
for (int i=; i<=last && x+i<=n+; i++)
{
l[k]=i; dfs(x+i,k+,i);
}
}
int main()
{
n=read(); m=read(); p=read();
bin[]=; for (int i=; i<=n; i++) bin[i]=bin[i-]*i%p;
dfs(,,n);
printf("%lld\n",ans*ksm(bin[n],p-)%p);
return ;
}
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