2017 多校1 I Curse Myself

2017 多校2 I Curse Myself(第k小生成树)

题目: 给一张带权无向连通图，该图的任意一条边最多只会经过一个简单环，定义\(V(k)为第k小生成树的权值和\)，求出\(\sum_{k=1}^{K}k \cdot V(k) mod 2^{32}\)

思路： 比赛的时候看了一眼，没有看清楚是仙人掌那句话，觉得好难啊

看完题解之后觉得就算看清了还是过不了嘛。

直接上题解

由于图是一个仙人掌，所以显然对于图上的每一个环都需要从环上取出一条边删掉。所以问题就变为有 M 个集合，每个集合里面都有一堆数字，要从每个集合中选择一个恰好一个数加起来。求所有的这样的和中，前 K 大的是哪些。这就是一个经典问题了。

对所有集合两个两个进行合并，设当前合并的集合是 A 和BB，合并的过程中用堆来求出当前 \(A_{i} + B_{j}\)

​ 这样的复杂度看起来是\(\mathcal{O}(MK \log K)\)，但如果合并的时候保证堆内的元素个数是新集合里的元素个数，设每个集合的大小分别为 \(m_{0}, m_{1}, \cdots, m_{M-1}\)

​​ ，则复杂度为 \(\mathcal{O}(\sum{K \log{m_{i}}}) = \mathcal{O}(K \log{\prod{m_i}})\)。当 \(m_{i}\)

​​ 都相等时取得最大值 \(\mathcal{O}\left(MK \log{\frac{\sum{m_i}}{M}}\right)\)，所以实际复杂度为 \(\mathcal{O}(MK)\)。

就照着题解敲了一遍，该优化的地方优化了，

找环那里用时间戳的方法一直没写对，所以换成直接用树再加边的方法去暴力找环了。

合并有序表的问题 刘汝佳的书上有讲

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define P pair<int,int>

using namespace std;
const LL mod = (1LL<<32);
const int N = 1200;
const int M = 4 * N;
int n, m, K;
int read(){
    int x = 0;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48,c = getchar();
    return x;
}
struct edge{
    int v,w,nxt;
    edge(){};
}e[M];
struct Edge{
    int u, v, w;
    Edge(int u,int v,int w):u(u),v(v),w(w){};
    Edge(){};
};
vector<Edge> other;
int head[N],EN;
int pa[N];
int Find(int x){
    return pa[x] == x?x:pa[x] = Find(pa[x]);
}
int A[100010],B[100010],ca,cb;
void init(){
    ca = cb = EN = 0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    other.clear();
    for(int i = 1;i <= n;i++) pa[i] = i;
}
void add(int u,int v,int w){
    e[EN].v = v,e[EN].w = w,e[EN].nxt = head[u];
    head[u] = EN++;
}
bool dfs(int u,int f,int ed){
    if(u == ed) return true;
    for(int i = head[u];~i;i = e[i].nxt){
        if(i == f) continue;
        if(dfs(e[i].v,i ^ 1,ed)){
            B[cb++] = e[i].w;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
bool cmp(int x,int y){
    return x > y;
}
void Merge(){
    if(ca > cb) swap(ca,cb),swap(A,B);
    priority_queue<P> q;
    for(int i = 0;i < ca;i++) q.push(P(A[i]+B[0],0));
    int siz = min(K, ca * cb);
    ca = 0;
    for(int i = 0;i < siz;i++){
        P cur = q.top();q.pop();
        A[ca++] = cur.first;
        if(cur.second + 1 < cb) q.push(P(cur.first - B[cur.second] + B[cur.second+1],cur.second + 1));
    }
}
int main(){
    int cas = 1, u, v, w;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2){
        init();
        int total = 0;
        for(int i = 0;i < m;i++){
            u = read(),v = read(),w = read();
            if(Find(u) != Find(v)){
                add(u, v, w);
                add(v, u, w);
                pa[Find(u)] = Find(v);
            }else {
                other.push_back(Edge(u,v,w));
            }
            total += w;
        }
        K = read();
        int first = 1;
        for(auto E:other){
            dfs(E.u,-1,E.v);
            B[cb++] = E.w;
            sort(B, B + cb,cmp);
            if(first) first = 0,swap(A,B),swap(ca,cb);
            else Merge();
            cb = 0;
        }
        LL ans = 0;
        for(int i = 0;i < ca;i++) {
            ans = (ans + 1LL * (i + 1) * (total - A[i]))%mod;
        }
        if(!ca) ans = total;
        printf("Case #%d: %lld\n",cas++,ans);
    }
    return 0;
}