CodeForces 1107F. Vasya and Endless Credits
题目简述:给定 $n \leq 500$ 个贷款方式,其中第$i$个贷款额为$a_i$元,需要$k_i$个月偿还,每月还贷$b_i$元。在每个月月初可申请其中一个贷款,而在每个月月底时需要还贷。求:(在某一时刻)可获得的最多贷款。
观察1:获得最多贷款的时刻一定在$n$月以内。
解1:(二分图最佳匹配,最小费用最大流)code
观察2:倒数第$j$个月申请的第$i$个贷款,在获得最多贷款的时刻之前,需要还贷$b_i\min\{k_i,j-1\}$元。
设$X$部有$n$个点,记为$X_i$,表示第$i$个贷款方式;$Y$部有$n$个点,记为$Y_j$。$X_i$和$Y_j$之间的连线表示倒数第$j$个月申请第$i$个贷款。
连边$(X_i, Y_j)$,权值为$\max\{a_i-b_i\min\{k_i,j-1\},0\}$。二分图最佳匹配即为答案。使用KM算法求二分图最佳匹配,时间复杂度为$O(n^3)$。
观察3:在最优解中,第$n$个月仍未完成还贷的贷款方式的申请顺序按$b_i$递增。
将所有贷款方式按$b_i$降序排序后,设$F[i][j]$表示前$i$个贷款方式中【有$j$种贷款方式在第$n$个月仍未完成还贷】的最优解,则
$F[i][j] = \max\{ F[i-1][j]+\max\{a_i-b_i k_i, 0\}, F[i-1][j-1]+a_i-b_i(j-1) \},$
其中$F[0][0] = 0$,$F[i][j] = -\infty$ 若 $j < 0$,且$F[i][j] = 0$ 若 $j > i$。
时间复杂度为$O(n^2)$。
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