shader复杂与深入：Normal Map（法线贴图）1

转自：http://www.zwqxin.com/archives/shaderglsl/review-normal-map-bump-map.html
Normal Map法线贴图，想必每个学习计算机图形学的人都不陌生。今天在这里按我的理解总结一下，作为复习，也作为深入学习吧。——ZwqXin.com
自从看完那本《数学在计算机图形学上的应用》后，一直想好好地真正实践一次法线贴图/凹凸贴图呢（以前是根据橙书弄了一下罢了）。昨天偶尔看到篇涉及BumpMap的文，正好觉得是个机会，便在网上狂找相关资料——果然，越看越觉得自己还有很多理论的地方需要弄明白呢。
说起Normal Map（法线贴图），就会想起Bump Map（凹凸贴图）。Bump Mapping是Blin大师在1978年提出的图形学算法，目的是以低代价给予计算机几何体以更丰富的表面信息（高模盖低模）。30年来，这项技术不断延展，尤其是计算机图形学成熟以后，相继出现了不少算法变体，90年代末的Normal Map解放了必须自行计算纹理像素法线的痛苦，新世纪以来相继又出现了Parallax Mapping, Relief Mapping等技术。抛开那些无聊的概念区分，它们的本体还是Bump Map，目的也是一致的。
1. 传统的Bump Map
如果你对纯净的Bump Map有兴趣，A Practical and Robust Bump-mapping Technique for Today's GPU应该是值得一看的论文。说Today，其实是GDC 2000的事情了，但对于传统的Bump Map的理论是很丰富的，我是没精力看完它啦……
那时候的Bump Map须要我们计算纹理图上每个像素的法线信息，简单的还可能做到，对复杂的纹理要搞清面光背光份量简直要命，于是就用Height Map，在一张高度图上记录每个像素对应的纹理位置的高度信息（这个比较容易办到，NEHE22也是这类）。看上去就是一张地形网格——这样的话，计算每个像素点的法线就不那么难了。XY方向相邻像素的高度相减就是两条正交的切向量，叉乘外加左/右手定则就获得法线。或者更精确点，用八邻域弄个边缘检测算子（sobel、拉普拉斯之类 ）[图像处理里的空间域滤波]，或者应用斜坡法([水效果Ⅲ - 抖动波] )来求切线、法线。

2. 制作NormalMap
但是这样还是挺麻烦的，既然都动用额外的贴图了，何不把这些与实现无关的预处理——作为结果的法线信息——都放进纹理里呢？这就是Normal Map的思想起源。但是，谁来做这样的一张法线图呢？敲定美工了。每个像素的RGB分别存储该像素对应法线的XYZ分量，只要把法线的分量由（-1，1）映射成（0，255）就可了。观察一张法线图，以蓝色为主，是因为朝向图面外的法线（0，0，1）都被编码成（0，0，127）了（读入OpenGL后即(0,0,0.5)），而图上越红的地方表明法线越向右，越绿的地方表明法线越向上，就可以理解了。总体来说，就是一张紫蓝色的图。怎么做这样的图呢？当然最好是有一个工具，输入原图和高度图后执行上述的算法得出新图了，事实上已经有很多这类工具了（譬如比较著名的photoshop的NV插件Normal Map Filter，甚至不用高度channel也可[效果- -]），以下几篇文章有详细介绍，有兴趣的可以看一看：
Tutorial On Normal Mapping （PHOTOSHOP [ENGLISH]）
怎样用PhotoShop创建Bump Map图像 （PHOTOSHOP [CHINESE]）
Nvidia Normal Map 插件参数之详解 (PHOTOSHOP [翻译])
GIMP normalmap plugin   (GIMP   [ENG]）
关于NormalMap制作的原理，更详细的可参考此文：Normalmap原理及去除接缝
 3. 切线空间(Tangent Space)
其实这个概念前文已经提及了。每个像素根据高度图生成的三轴坐标系，就是被称为切线空间坐标系的东西，每个像素人手一个。可见Normal Map里面每个像素的法线就是定义在这个切线空间的。注意，这些法线是属于像素的，而不是顶点，我们平时用的法线是顶点法线，是定义在模型坐标系的[乱弹OpenGL中的矩阵变换(上)] ，定义于所属物件的唯一的局部坐标系原点之上。而这些像素法线定义于切线坐标系，其原点就在该像素上，切线副法线在法线的垂直平面上。

（表面依然是平的，但通过搅动法线，使进入我们眼睛的光线强度不一，模拟出凹凸面漫反射的特点。图from GDNet）
应用这些像素法线的目的无非是计算出该像素的OutPut颜色：col = baseColor * (amb + diffuse) + specular。这些都应该在像素着色器（fragment shader）里进行，因为我们要做的是针对每个像素的处理[Shader快速复习：Per Pixel Lighting(逐像素光照)] 。其中需要用到像素法线的是diffuse和specular（以前是用通过顶点法线线性插值而来的normal），法线分别与光线向量、半向量作点乘得到对应因子。这个因子是个夹角cos而已，所以只要满足像素法线与两个向量单位化并在同一坐标系下（而无论是哪个坐标系），夹角就是一定的。这样看来，两个选择：
1. 把像素法线都从各自的切线空间转到视图空间来，再点乘；
2.把光线向量、半向量从视图空间转到像素各自的切空间来，再点乘。
很多文章一口咬定就是第2种好，原因是第1种要变换N个量；第2种只变换2个量。仔细分析，其实两种选择变换的次数是一样的，都是2*N。说第2种好，是因为：
第1种必须在fragment shader里进行，对象是从Normal Map读出的像素法线和经过线性插值而来的两个向量，它们不是同一坐标系的，按描述应该是各像素法线乘以各自一个的变换矩阵，转到视图空间来，但确实没有其他的可提供构筑这个矩阵的信息了，若有可能应该就是另外的varying变量传入了；
第2种可以选择在vertex shader里进行，但是能不能就在这里变换到切线空间呢？假设可以，那么得到的针对顶点的数值在光栅化-线性插值后能否满足呢？
要回答这个问题，还得考虑像素的切线空间和顶点的切线空间之间的关系。是的，顶点法线也可以变换到切线空间，但这有什么用呢？一步一步来吧。先考虑切线空间在OpenGL世界里的次元位置：

(from paulsprojects)
为什么是紧挨模型坐标系呢？其实想想也能理解，在上面谈及切线坐标系的时候，并没有广阔的“世界”这个概念。只针对每个像素/顶点，无疑是比模型坐标系更狭隘的“世界观”，所以那个位置是适合的（箭头方向无所谓，坐标系之间是可以相互转换的）。其实对于某个具体的物体上的像素/顶点，你可以考虑那是把模型空间的原点平移到该像素/顶点上，各模型坐标系方向轴向量一起经过旋转，使Z轴与像素/顶点的法线重合，XY轴分别与像素/顶点的切线副法线重合——这只是一个仿射变换而已，如同模型/世界/视图空间之间的变换一样。
如果你记得图形学书上关于世界/视图空间的变换矩阵的构建的话，就更容易理解这样的形式了。从切线空间到模型空间的变换矩阵（TBN矩阵MTBN）为：

其中T，B，N是定义在模型空间的该像素/顶点的“切/副法/法向量”。稍微检验一下，考虑某个三角面上的某个顶点，其法线充当切线空间的Z轴，在切线空间中表示为（0，0，1），在OpenGL里解释为一个列向量（0，0，1）T，用上面的矩阵MTBN左乘该向量，得到（Nx，Ny，Nz）T，正是该向量在模型空间的表示。其他两轴同理。说明该矩阵把切线空间的坐标系统转换到模型空间了（一切变换都是在变换坐标系[乱弹OpenGL中的矩阵变换(上)] ）。当然这是特例说明，但确实这个矩阵包含仿射矩阵里的旋转元素了（它只包含旋转，不设置平移，是因为我们只需要它来变换向量，向量是可以任意平移的，若要弄完整的4X4矩阵，第4列平移列就是该顶点模型坐标）。具体推导也不难，随便Google一下"tangent space"就出来一堆了，而且都是基本一样的推导过程，推一个：Tangent Space。
其逆变换（矩阵MTBN-1）就可以把向量从模型空间变换到对应顶点的切线空间了。如果你确保T，B，N两两垂直，这个正交矩阵的逆矩阵就是其转置矩阵，这很理想。但万一你不确保这点（涉及到具体应用，很多问题的，后面会说），就保证它们大致满足三叉状，用所谓的Gram-Schmidt 算法矫正：
T′ = T − (N · T)N
B′ = B − (N · B)N − (T′ · B)T′
反正最后得到的是这样的形式——用它左乘光源向量和半向量，就得到对应于该顶点切线空间的光源向量和半向量了：
T′x
B′x
NxT′y
B′y
NyT′z
B′z
Nz

为什么是顶点？因为这是你唯一能取得其切线/副法线/法线的东西了。这也是之前说的选择1不行的原因，在那张Normal Map里面已经没有任何法线副法线的确实信息了（只知道它们在法线垂直平面上），即使能通过别的方法取得（起码要增加传入数据），那要在fragment shader里每像素人手又计算一个矩阵，这就又是一个“计算量”（不是次数）的问题。所以还是用选择2吧，也就是上面矩阵MTBN-1的讨论。
选择2的第一个问题现在很清楚了：是可以的。只要取得顶点的切线/副法线/法线数据就能建立矩阵并变换光源向量和半向量，但结果是针对顶点的，我们需要的是针对像素的。光栅化线性插值这两个向量，就是对应像素的值，但这对吗？直觉上不对，但结果显示这样做没有不妥（或者说不会与真实所须差太多）。一般文章都没有直接透视这个问题，其实考虑一个矩形平面就露馅了，它四个顶点的TBN一致，变换得的光源向量也该一致，插值后得光源向量也该一致，但NormalMap中的像素有各自不同的切线空间系统，光源向量不该一致的呃（虽则同向光源、不同法线足够形成凹凸效果）。所以我对选择2的第二个问题保持疑问，有道深者请为鄙人指点迷津！
反正即使计算两向量夹角的计算可能会有偏差，也不会太离谱，问题到此结束。至于有的文章提及对diffuse的计算，光源向量插值后不须再归一化的问题（我尝试过，整体会变暗一点），就不深入了。注意我们在vertex shader里变换到切线空间的是模型空间下的光源向量和视线向量（半向量是它们的和），而一般这两个向量定义在视图空间，所以之前还要做一个视图空间->模型空间的变换（用ModelView矩阵的逆矩阵）。这是很多文章囫囵掉的一点。但如果你能取得视图空间下的顶点TBN，也不需。因为切线/副法线/法线若是被变换到视图空间，则上面的TBN矩阵MTBN就是把东西从该顶点的切线空间变换到视图空间（道理是一样的），MTBN-1就能把视图空间下的这两个向量变换到该顶点的切线空间（参见下篇的代码）。
 最后的问题：怎么去取得模型空间下的顶点的切线，副法线，法线？连同shader实现代码一起，我会在下篇谈及，请留意了哦。

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