O(V*n)的多重背包问题

多重背包问题：

　　有n件物品，第i件价值为wi,质量为vi,有c1件，问，给定容量V，求获得的最大价值。

　　

朴素做法：

　　视为0,1,2，...,k种物品的分组背包 [每组只能选一个]

　　f[i][j]=Max(f[i][j-k*v[i]]+k*w[i])

　　但是i,j,k都要枚举，复杂度为 n*V*k

朴素做法的改进：

　　因为发现用二进制可以表示1..k之内的所有数 [整数二进制打开后为01串，所以可以被二进制表示]

　　所以将k个物品拆分成1,2,4...2^m,k-2^m   ( 其中2^m<=k<2^(m+1) ) 这些物品，然后变成01背包问题。

　　但是n的数目增多了，复杂度为 n*V*logk

利用单调队列的改进：

　　1.我们可以发现每个容量都能表示成 v*x+d 的形式[ v表示当前考虑的物品的容量 ]

　　2.在上一点的启发下，我们发现一个f[v*x+d]在考虑当前物品时，只能由f[v*y+d]转移而来。 [其中x-y<=k]。

　　也就是说，对v取模的余数相同的容量之间才能互相转移，而且要求x-y<=k。又因为求的是最大值的转移，所以满足单调队列的适用性。

　　于是乎，我们对于余数d相同的容量分别建一个单调队列，然后枚举x f[x*v+d]，进行转移即可。

　　

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 
 inline int in(){
     int x=,flag=;char ch=getchar();
     while(ch!='-' && (ch>'' || ch<'')) ch=getchar();
     if(ch=='-') flag=-,ch=getchar();
     while(ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
     return x*flag;
 }
 
 int a[],b[],f[];
 int w,v,k,n,V,l,r;
 
 void insert(int x,int y){
     while(l<=r && b[r]<=y) r--;
     a[++r]=x; b[r]=y;
 }
 
 inline int Max(int a,int b){
     if(a>b) return a;return b;
 }
 
 int main(){
     n=in(),V=in();
     int Lim;
     for(int i=;i<=n;i++){
         v=in();w=in();k=in();
         if(k==){
             for(int j=V;j>=v;j--)
                 f[j]=Max(f[j],f[j-v]+w);
             continue;
         }
         else if(k<){
             for(int j=v;j<=V;j++)
                 f[j]=Max(f[j],f[j-v]+w);
             continue;
         }
         if(V/v<k) k=V/v;
         for(int d=;d<v;d++){
             l=,r=;Lim=(V-d)/v;
             for(int x=;x<=Lim;x++){
                 insert(x,f[x*v+d]-x*w);
                 if(a[l]<x-k) l++;
                 f[x*v+d]=b[l]+x*w;
             }
         }
     }
     printf("%d",f[V]);
     return ;
 }

codevs 3269 混合背包

AC通道：http://codevs.cn/problem/3269/