BZOJ 3672 [Noi2014]购票 (熟练剖分+凸壳维护)
题目链接:http://www.lydsy.com:808/JudgeOnline/problem.php?id=3672
题意:给出一棵有根树(1为根),边有长度。每个点u有三个属性(len[u],p[u],q[u]),每次u可以转移到u的某个祖先节点v(v满足dist(u,v)<=len[u]),代价为p[u]*dist(u,v)+q[u]。求每个点都转移到1的代价。
思路:首先设f[u]表示u转移到1的最小代价,那么我们可以得到一个DP方程: f[u]=min(f[v]+p[u]*(s[u]-s[v])+q[u]) (v为u的祖先节点,s[u]表示u到根节点1的距离,s[u]-s[v]<=len[u])。
将上面的式子变形:f[u]=(-s[v]*p[u]+f[v])+(s[u]*p[u]+q[u])。其中s[u]*p[u]+q[u]对于u为定值那么我们只要求-s[v]*p[u]+f[v]的最小值即可。
我们按照深度由小大到的顺序依次计算,那么计算u时,它的所有祖先节点都已经计算过,他们的f[v]和s[v]值都已经知道。那么,我们断然是不能一个一个枚举u的所有祖先的.因此如何维护呢?设k=-s[v],b=f[v],x=p[u],y=kx+b,我们现在就是求y的最小值,k<0,斜率k,y轴截距b。我们发现,只要维护[1,fa[u]]这些点组成的上凸壳即可。
我们设现在已经维护了一个上凸壳,现在加入一个点(-s[t],f[t]),我们发现,由于题目说边的距离严格大于0,那么这个s[t]是严格递增的,也就是斜率越来越趋近于负无穷,因此,我们首先将其加入到已经维护的凸壳的最后即可(当x很大时一定是这个新加入的能够使得答案最小)。此时,前面可能有一些不再是最优值,我们只要依次从后向前判断,不是最优值就删掉,因此用一个vector维护即可(不用splay、set什么的了)。
因此,我们得到算法:
(1)首先,树链剖分,用线段树维护每个链,线段树每个节点用一个vector维护这个区间的点组成的上凸壳
(2)按照深度由小到大依次计算。由于这里有一个距离限制,那么对于u,最后我们需要查询的是一段区间[v,fa[u]],v是满足s[u]-s[v]<=len[u]的深度最小的u的祖先。
(3)计算完节点u后将其插入到线段树中包含该点的所有区间。
- const i64 inf=(1LL<<62);
- const int mod=1000000007;
- const int N=200005;
- vector<int > g[N];
- int n,t;
- int fa[N];
- i64 len[N],p[N],q[N],dis[N];
- int sonNum[N];
- int dep[N];
- i64 s[N];
- void DFS(int u)
- {
- sonNum[u]=1;
- int i;
- for(i=0;i<SZ(g[u]);i++)
- {
- int v=g[u][i];
- dep[v]=dep[u]+1;
- s[v]=s[u]+dis[v];
- DFS(v);
- sonNum[u]+=sonNum[v];
- }
- }
- int id,belong[N],pos[N],mp[N];
- void dfs(int u,int root)
- {
- id++;
- belong[u]=root;
- pos[u]=id;
- mp[id]=u;
- int i,k=n+1;
- for(i=0;i<SZ(g[u]);i++) if(sonNum[k]<sonNum[g[u][i]]) k=g[u][i];
- if(k==n+1) return;
- dfs(k,root);
- for(i=0;i<SZ(g[u]);i++)
- {
- if(g[u][i]!=k) dfs(g[u][i],g[u][i]);
- }
- }
- struct node
- {
- int L,R;
- vector<pair<i64,i64> > root;
- };
- node A[N<<2];
- void build(int t,int L,int R)
- {
- A[t].L=L;
- A[t].R=R;
- A[t].root.clear();
- if(L==R)
- {
- return;
- }
- int M=(L+R)>>1;
- build(t<<1,L,M);
- build(t<<1|1,M+1,R);
- }
- #define pdd pair<i64,i64>
- i64 f[N];
- double cross(pdd a,pdd b)
- {
- return 1.0*(a.second-b.second)/(b.first-a.first);
- }
- int sgn(double x)
- {
- if(x>1e-20) return 1;
- if(x<-1e-20) return -1;
- return 0;
- }
- void add(vector<pair<i64,i64> > &x,i64 s,i64 f)
- {
- pdd p3=MP(s,f);
- while(SZ(x)>=2)
- {
- pdd p2=x[SZ(x)-1];
- pdd p1=x[SZ(x)-2];
- double x1=cross(p2,p3);
- double x2=cross(p1,p3);
- if(sgn(x1-x2)==1) break;
- x.pop_back();
- }
- if(SZ(x)==1&&f<=x[0].second) x.pop_back();
- x.pb(p3);
- }
- void add(int t,int pos,i64 s,i64 f)
- {
- add(A[t].root,s,f);
- if(A[t].L==A[t].R) return;
- int M=(A[t].L+A[t].R)>>1;
- if(pos<=M) add(t<<1,pos,s,f);
- else add(t<<1|1,pos,s,f);
- }
- i64 curX;
- i64 get(vector<pdd> x)
- {
- int L=0,R=SZ(x)-1;
- while(R-L>=4)
- {
- int M=(R+L)>>1;
- double xx=cross(x[M-1],x[M]);
- if(sgn(xx-curX)>=0) R=M;
- else L=M;
- }
- i64 ans=inf;
- int i;
- for(i=L;i<=R;i++)
- {
- pdd p=x[i];
- i64 tmp=curX*p.first+p.second;
- if(tmp<ans) ans=tmp;
- }
- return ans;
- }
- i64 cal(int t,int L,int R,i64 len)
- {
- if(A[t].L==L&&A[t].R==R)
- {
- int u1=mp[L];
- int u2=mp[R];
- if(s[u2]-s[u1]<=len) return get(A[t].root);
- int M=(A[t].L+A[t].R)>>1;
- i64 ans=cal(t<<1|1,M+1,R,len);
- u1=mp[A[t<<1].R];
- len-=(s[u2]-s[u1]);
- if(len<0) return ans;
- i64 tmp=cal(t<<1,L,M,len);
- if(tmp<ans) ans=tmp;
- return ans;
- }
- else
- {
- int M=(A[t].L+A[t].R)>>1;
- if(R<=M) return cal(t<<1,L,R,len);
- if(L>M) return cal(t<<1|1,L,R,len);
- i64 ans=cal(t<<1|1,M+1,R,len);
- int u1=mp[A[t<<1].R];
- int u2=mp[R];
- len-=(s[u2]-s[u1]);
- if(len<0) return ans;
- i64 tmp=cal(t<<1,L,M,len);
- if(tmp<ans) ans=tmp;
- return ans;
- }
- }
- i64 cal(int u)
- {
- curX=p[u];
- i64 L=len[u];
- i64 ans=inf;
- while(L>=0)
- {
- i64 tmp=cal(1,pos[belong[u]],pos[u],L);
- if(tmp<ans) ans=tmp;
- if(fa[belong[u]]==0) break;
- L-=(s[u]-s[fa[belong[u]]]);
- u=fa[belong[u]];
- }
- return ans;
- }
- int main()
- {
- scanf("%d%d",&n,&t);
- int i;
- for(i=2;i<=n;i++)
- {
- scanf("%d%lld%lld%lld%lld",&fa[i],&dis[i],&p[i],&q[i],&len[i]);
- g[fa[i]].pb(i);
- }
- DFS(1);
- dfs(1,1);
- build(1,1,n);
- add(1,pos[1],0,0);
- for(i=2;i<=n;i++)
- {
- int u=mp[i];
- f[u]=cal(u)+p[u]*s[u]+q[u];
- add(1,pos[u],-s[u],f[u]);
- }
- for(i=2;i<=n;i++) printf("%lld\n",f[i]);
- }
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