【Tsinghua OJ】灯塔(LightHouse)问题

描述

海上有许多灯塔，为过路船只照明。从平面上看，海域范围是[1, 10^8] × [1, 10^8] 。

（图一）

如图一所示，每个灯塔都配有一盏探照灯，照亮其东北、西南两个对顶的直角区域。探照灯的功率之大，足以覆盖任何距离。灯塔本身是如此之小，可以假定它们不会彼此遮挡。

（图二）

若灯塔A、B均在对方的照亮范围内，则称它们能够照亮彼此。比如在图二的实例中，蓝、红灯塔可照亮彼此，蓝、绿灯塔则不是，红、绿灯塔也不是。

现在，对于任何一组给定的灯塔，请计算出其中有多少对灯塔能够照亮彼此。

输入

共n+1行。

第1行为1个整数n，表示灯塔的总数。

第2到n+1行每行包含2个整数x, y，分别表示各灯塔的横、纵坐标。

输出

1个整数，表示可照亮彼此的灯塔对的数量。

输入样例

输出样例

限制

对于90%的测例：1 ≤ n ≤ 3×10⁵

对于95%的测例：1 ≤ n ≤ 10⁶

全部测例：1 ≤ n ≤ 4×10⁶

灯塔的坐标x, y是整数，且不同灯塔的x, y坐标均互异

1 ≤ x, y ≤ 10^8

提醒

注意机器中整型变量的范围，C/C++中的int类型通常被编译成32位整数，其范围为[-2³¹, 2³¹ - 1]，不一定足够容纳本题的输出。

时间：2s，内存：256MB

【solution】

很容易的，我们能将这道题和逆序对联系起来。

原因在于A和B能够相互照亮的条件（假设A(x)<B(x)）就是B在A的右上方。注意原题注明了：不同灯塔的x, y坐标均互异。

所以只要我们首先将所有点按照x坐标排序，接下来在y坐标中统计所有“非逆序对”或者说“顺序对”，再求和，就可以了。

而问题的关键就在于在这样的数据规模下如何快速的统计出“顺序对”的个数。

如果只是单纯的O(n^2)的算法显然是效率不够的。

那，如何从向量中快速的统计出“顺序对”的个数？

这里大概思考之后可以联想到归并排序。

归并排序的关键也就是用分治的策略，将原问题一分为二的递归下去，最后的关键步骤只是将左右两个有序的区间合并起来即可。

而很快会发现，在合并的过程中似乎我们就可以顺便统计“顺序对”的个数。

考虑这样的一种情形：

目前左右两个有序区间，分别有指针 i, j 指向该区间下一个要合并的元素。

当a[i] < a[j]的时候（不可能相等，原题目已经说明），此时 a[i] 就要被合并。

而 a[j] 以及所有右区间大于 a[j] 的元素其实都与 a[i] 构成“顺序对”。

统计完后，i 指向 i++ 的元素，且区间也都是没有重叠部分的，所以也并不会重复计数。

这样在归并排序合并的同时，也将所有的“顺序对”无重复无遗漏地记录了下来。

算法复杂度也就是O(nlogn)的。

源码如下：

 #include <stdio.h>

 #define L 1000005

 int y[L], le[L], ri[L];

 long ans = ;

 void qsort(int a[], int b[], int l, int r)

 {

     int i, j, x, t;

     i = l; j = r; x = a[i + ((j - i)>>)];

     do

     {

         while (x > a[i]) i++;

         while (x < a[j]) j--;

         if (i <= j)

         {

             t = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = t;

             t = b[i]; b[i] = b[j]; b[j] = t;

             i++; j--;

         }

     } while (i <= j);

     if (i < r) qsort(a, b, i, r);

     if (j > l) qsort(a, b, l, j);

 }

 void Merge(int l, int mi, int r)

 {

     int i, j, k, n1 = mi - l + , n2 = r - mi;

     const int MAX = ;

     for (i = ; i <= n1; i++) le[i] = y[l + i - ];

     for (i = ; i <= n2; i++) ri[i] = y[mi + i];

     le[n1 + ] = MAX; ri[n2 + ] = MAX;

     i = ; j = ;

     for (k = l; k <= r; k++)

     {

         if (le[i] > ri[j]) y[k] = ri[j++];

         else

         {

             y[k] = le[i++];

             ans += long(n2) - j + ;

         }

     }

 }

 void Merge_Sort(int l, int r)

 {

     int mi;

     if (l == r) return;

     mi = l + ((r - l)>>);

     Merge_Sort(l, mi);

     Merge_Sort(mi + , r);

     Merge(l, mi, r);

 }

 int main(void)

 {

     int n, x[L];

     scanf("%d", &n);

     for (int i = ; i <= n; i++)

     {

         scanf("%d %d\n", &x[i], &y[i]);

     }

     qsort(x, y, , n);

     Merge_Sort(, n);

     printf("%ld\n", ans);

     return ;

 }

要注意题目中的提示部分，用 int 类型可能不足以容纳结果数字。对 x 的排序使用的是快排（快速排序）。

此程序可以通过 Tsinghua OJ 上 95%的数据，也就是 n > 1 * 10^6 的那个点无法通过（即使改了代码中的 L 也不行，Runtime error (exitcode: 11)），暂无解。