洛咕11月月赛部分题解 By cellur925

听说是你谷史上最水月赛？我不听我最菜

T1：终于结束的起点 月天歌名好评

给你一个模数 \(M\)，请你求出最小的

\(n > 0\)，使得\(fib(n)\) \(mod\) \(m=0\)，\(fib(n+1)\) \(mod\) \(m=1\)。

数学题，开始还想打表验证下，但是我不会告诉你我打表的时候没有很及时地取膜，然后中间有结果溢出，耽误了很长时间，企图找了很久规律。结果发现暴力就能过。hhh。

这个故事告诉我们要及时取膜！

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;

ll m;
ll f[7000001];

int main()
{
    scanf("%lld",&m);
    f[0]=0;f[1]=1;
    for(ll i=2;;i++)
    {
        (f[i]=f[i-1]+f[i-2])%=m;
        if(f[i-1]==0&&f[i]==1)
        {
            printf("%lld\n",i-1);
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}

T2：跳跳！

对于\(20\)%的数据，直接全排列枚举。

对于\(50\)%的数据，开始还想状压一下，结果交后发现超时，是我自己傻了！！企图用\(O(2^n*n*2)\)过\(n<=20\)！！！其实是四亿hhh。

本来还觉得自己想不出正解了，但是\(Mathison\)巨佬说他\(O(n)\)写出了...然后自己又冷静分析了下，发现是个非常简单的贪心==。

可以重构一个序列：先对原序列排序，每次先选择剩余序列中的最大值，再选最小值直到原序列为空。这个序列就是最优排列。

最后交的时候求稳分别交了全排列/状压/yy的正解，结果状压被卡T掉了30分：（。可能脸太黑了

这个故事告诉我们，一定算好时间复杂度！

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;

int n,fake,tot;
ll ans,f[1200000][25];
int h[1000],a[100],b[100];
int seq[1000],tmp[1000];

void review()
{
    ll qwq=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        qwq+=1ll*(h[a[i-1]]-h[a[i]])*(h[a[i-1]]-h[a[i]]);
    ans=max(ans,qwq);
}

bool cmp(int a,int b)
{
    return a>b;
}

void dfs(int x)
{
    if(x==n+1)
    {
        review();
        return ;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!b[i])
        {
            b[i]=1;
            a[x]=i;
            dfs(x+1);
            b[i]=0;
            a[x]=0;
        }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    if(n<=10)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&h[i]);
        dfs(1);
        printf("%lld\n",ans);
        return 0;
    }
/*	if(n<=20)
    {
        for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&h[i]);
        fake=(1<<n)-1;
        for(int i=0;i<n;i++)
            f[(1<<i)][i]=1ll*h[i]*h[i];
        for(int i=0;i<=fake;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)//枚举当前在哪
            {
                if(!(i&(1<<j))) continue;
                for(int k=0;k<n;k++)//枚举上一步在哪
                {
                    if(k==j||!(i&(1<<k))) continue;
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i^(1<<j)][k]+1ll*(h[j]-h[k])*(h[j]-h[k]));
                }
            }
        for(int i=0;i<n;i++) ans=max(ans,f[fake][i]);
        printf("%lld\n",ans);
        return 0;
    }*/
    else
    {
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&seq[i]);
        seq[++n]=0;
        sort(seq+1,seq+1+n,cmp);
        int i=1,j=n;
        while(tot<n)
        {
            tmp[++tot]=seq[j],j--;
            tmp[++tot]=seq[i],i++;
        }
        for(int i=2;i<=n;i++)
            ans+=1ll*(tmp[i]-tmp[i-1])*(tmp[i]-tmp[i-1]);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

T3：咕咕咕

\(n<=20\)的数据范围让我从头到尾都以为是状压，并在这个思路上死磕了很久...最后手码前三个点搞到了30分hhh。

其实是可以想出一个\(O(4^n)\)的状压暴力的：枚举子集。首先我们确定对于状态\(i\)，它的子集\(j\)一定在\(0\)~\(i\)中，若\(i\)&\(j\)==\(j\)，那么可以确定\(j\)是\(i\)的子集。

没有写=w=，下面是lwz dalao的程序==

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MAXN 2147483647
#define ll long long

using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,m;
ll sum;
int a[2001000];
ll f[2001000],p[20010000];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        char s[30];
        scanf("%s",s+1);
        int ret=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            ret+=(s[j]-'0')*(1<<n-j);
        int x;
        scanf("%d",&x);
        a[ret]=x%mod;
    }
    f[0]=a[0];//f记录到状态的花费
    p[0]=1;//p记录此状态出现的次数
    for(int i=1;i<(1<<n);i++)
    {
        for(int j=0;j<i;j++)
            if((i&j)==j){
                p[i]+=p[j];//记录自己的次数
                (f[i]+=f[j])%=mod;//加上子集的花费
            }
        (f[i]+=a[i]%mod*p[i]%mod)%=mod;//加上自己
    }
    printf("%lld\n",f[(1<<n)-1]%mod);
    return 0;
}

正解其实是..数学题？我们完全抛开状压dp的限制，考虑最后的答案其实是可以统计每个带权状态所有可能出现的次数，再乘上最后的权值就行了。

而如何算出现的次数？考虑乘法原理：把这些状态看成中间状态，分别算从0到它的次数、它到满状态的次数，二者相乘。

"具有相同1/0个数的状态出现次数一样”，开始并不能发现这个性质：(。其实出现01的位置并不重要重要的是数量，所以我们可以预处理出每个方案的出现次数。

设\(f[i]\)为填\(i\)个1的方案数，设最后一次填了\(j\)个，那么\(f[i]+=f[i-j]*C(i,j)\)。其中\(j\)从1到\(i\)循环。

这个故事告诉我们，不要一条路走到黑，有时你觉得十分正确的算法方向也可能不是正解，要灵活啊\(qwq\)。而且要多膜膜，没坏处的。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;
typedef long long ll;
ll moder=998244353;

int n,m;
char op[100];
ll val,ans,C[50][50],f[50];

void prework()
{
	C[0][0]=1;C[1][1]=1;
	for(int i=1;i<=20;i++) C[i][0]=1,C[i][i]=1;
	for(int i=1;i<=20;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			(C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%=moder;
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=20;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			(f[i]=f[i]+f[i-j]*C[i][j])%=moder;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	prework();
	for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%s",op);
        int cnt=0;
        for(int j=0;j<n;j++)
            if(op[j]=='1') cnt++;
        scanf("%lld",&val);
        (ans+=val*f[cnt]%moder*f[n-cnt]%moder)%=moder;
    }
    printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

T4：不围棋

本想搞到10分的，我输出的是1 1 -1 -1；其实应该直接输出-1 -1.因为放到\((1,1)\)后，自己就没有“气”了。嘤。