cf 472G Design Tutorial: Increase the Constraints 分块+压位/FFT

题目大意

给出两个\(01\)序列\(A\)和\(B\)

哈明距离定义为两个长度相同的序列中，有多少个对应位置上的数字不一样

"00111" 和 "10101"的距离为2

\(Q\)次询问，每次询问给出\(p_1,p_2,len\)

求\(a{p_1},a{p_1+1}...a_{p_1+len-1}\) 和 \(b_{p_1},b_{p_1+1}...b_{p_1+len-1}\)两个子串的哈明距离

注意：本题中的序列是从\(0\)开始编号的：\(a_0,a_1,...,a_{n-1}\)

\(1\leq |A|.|B|\leq 2*10^5,1\leq Q\leq 4*10^5\)

\(0 \leq p_1 \leq |a| - len\),\(0 \leq p_2 \leq |b| - len\)

分析

哈明距离可以转化成异或后有多少个\(1\)

考虑如何快速的比较两个字符串

我们先求出每个位置往后\(32\)位/\(64\)位的压位后的值

这样之后再暴力的复杂度就变成了\(\frac {len} {32}\)

我们再考虑对\(A\)串分块

每长度\(T\)分一块

预处理\(dif[i][j]\)表示\(A\)中第\(i\)块整个块 和 \(B\)中\(j\)开始的长度为\(T\)的串的哈明距离

\(O(\frac n T *m *\frac T {32})=O(\frac {n*m} {32})\)

对于询问

左右两边暴力扫\(O(T)\)

中间块内的用预处理直接求\(O(\frac n T)\)

算出来\(T=\sqrt n\)最优

同时T要是\(32\)/\(64\)的倍数

原题空间256M好像开不到\(n*\sqrt n\)的数组要调调参数

优化

块内的复杂度\(O(\frac {n*m} {32})\)小心脏承受不住

可以用FFT优化

s[i]==1的FFT数组中设为1，否则设为-1

将块中串反过来，卷积一波

求出来的值就是\(同-异\)

而块的大小为\(同+异\)

\(\frac {同+异-(同-异)} 2=异\)

这样就可以不用1算一次，0算一次再用总数减常数那么大了

结果越跑越慢

各种调参数到5000左右最快了

组合

如果两个算法合起来就完美了(越写越慢还好意思说)

注意

unsigned满位后左移一位可以看作把最高位扔掉后左移一位

bitset的count()是暴力

正确姿势：预处理1<<16内每个数有多少个1，分段算

FFT有负数用round()取整

solution（分块+压位）

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <bitset>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int S=450;
const int M=200003;
const int N=1<<16;
inline int rd(){
	int x=0;bool f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
	return f?x:-x;
}
char s[M];
char t[M];
int n,m,Q;
int sn,MX;
int cnt[N];
ull aw[M],bw[M];
int dif[S][M];
int loc(int x){
	return x/sn+1;
}
int getL(int x){
	return (x-1)*sn;
}
int getR(int x){
	return x*sn-1;
}
int getP(int x){
	int L=getL(loc(x));
	return x-L+1;
}
int main(){
	int i,j,k,BL,BR,L,R,x,y,z,len;
	scanf("%s%s",s,t);
	n=strlen(s); m=strlen(t);
	sn=448; MX=loc(n);
	for(i=0;i<N;i++) cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
	for(i=0;i+63<n;i++)
		for(j=i;j<i+64;j++)
			aw[i]=aw[i]<<1|(s[j]=='1');
	for(i=0;i+63<m;i++)
		for(j=i;j<i+64;j++)
			bw[i]=bw[i]<<1|(t[j]=='1');
	int ful=N-1;
	for(i=1;i<=MX;i++){
		L=getL(i);
		if(L+sn-1>=n) break;
		for(j=0;j+sn-1<m;j++){
			x=L,y=j;
			for(k=7;k>0;k--){
				ull tp=aw[x]^bw[y];
				dif[i][j]+=cnt[tp&ful]+cnt[tp>>16&ful]+cnt[tp>>32&ful]+cnt[tp>>48];
				x+=64; y+=64;
			}
		}
	}
	Q=rd();
	int ans;
	while(Q--){
		ans=0;
		x=rd(),z=rd(),len=rd();
		y=x+len-1;
		BL=loc(x); BR=loc(y);
		if(BL+1>=BR){
			for(i=x;i<=y;i++) ans+=s[i]!=t[z+i-x];
		}
		else{
			if(getL(BL)!=x) BL++;
			if(getR(BR)!=y) BR--;
			L=getL(BL); R=getR(BR);
			for(i=BL;i<=BR;i++)
				ans+=dif[i][z+getL(i)-x];
			for(i=x;i<L;i++) ans+=s[i]!=t[z+i-x];
			for(i=y;i>R;i--) ans+=s[i]!=t[z+i-x];
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

solution（分块+FFT）

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef double db;
const int N=262144;
const int S=207;
const int M=200003;
const db pi=acos(-1.0);
inline int rd(){
	int x=0;bool f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
	return f?x:-x;
}
char s[M];
char t[M];
int rev[N];
int n,m,Q;
int sn,MX;
struct CP{
	db x,i;
	CP(db xx=0.0,db ii=0.0){x=xx;i=ii;}
}a[N],b[N],c[N];
CP operator +(CP x,CP y){return CP(x.x+y.x,x.i+y.i);}
CP operator -(CP x,CP y){return CP(x.x-y.x,x.i-y.i);}
CP operator *(CP x,CP y){return CP(x.x*y.x-x.i*y.i,x.i*y.x+x.x*y.i);}
void FFT(CP *a,int fl){
	int i,j,k;
	CP W,Wn,u,v;
	for(i=0;i<N;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(i=2;i<=N;i<<=1){
		Wn=CP(cos(2*pi/i),fl*sin(2*pi/i));
		for(j=0;j<N;j+=i){
			W=CP(1,0);
			for(k=j;k<j+i/2;k++,W=W*Wn){
				u=a[k];
				v=a[k+i/2]*W;
				a[k]=u+v;
				a[k+i/2]=u-v;
			}
		}
	}
	if(fl==1) return ;
	for(i=0;i<N;i++) a[i].x/=N;
}
int dif[S][M];
int loc(int x){
	return x/sn+1;
}
int getL(int x){
	return max(1,(x-1)*sn);
}
int getR(int x){
	return min(n,x*sn-1);
}
int getP(int x){
	int L=getL(loc(x));
	return x-L+1;
}
int main(){
	int i,j,BL,BR,L,R,x,y,z,len;
	scanf("%s%s",s+1,t+1);
	n=strlen(s+1); m=strlen(t+1);
	sn=5000; MX=loc(n);
	for(i=0;i<N;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(N>>1):0);
	for(i=1;i<=m;i++) b[i]=(t[i]=='1')?1:-1;
	FFT(b,1);
	for(i=1;i<=MX;i++){
		L=getL(i);
		R=getR(i);
		for(j=0;j<N;j++) a[j]=CP();
		int tt=0;
		for(j=R;j>=L;j--) a[++tt]=(s[j]=='1')?1:-1;
		FFT(a,1);
		for(j=0;j<N;j++) c[j]=a[j]*b[j];
		FFT(c,-1);
		int sss=R-L+1;
		for(j=1;j<=m;j++) dif[i][j]=(sss-round(c[j+sss].x))/2;
	}
	Q=rd();
	int ans;
	while(Q--){
		ans=0;
		x=rd(),z=rd(),len=rd();
		x++;z++;//ÎÒ´Ó 1 ´æ
		y=x+len-1;
		BL=loc(x);BR=loc(y);
		if(BL+1>=BR){
			for(i=x;i<=y;i++) ans+=(s[i]!=t[z+i-x]);
		}
		else{
			if(getL(BL)!=x) BL++;
			if(getR(BR)!=y) BR--;
			L=getL(BL); R=getR(BR);
			for(i=x;i<L;i++) ans+=(s[i]!=t[z+i-x]);
			for(i=BL;i<=BR;i++)
				ans+=dif[i][z+getL(i)-x];
			for(i=y;i>R;i--) ans+=(s[i]!=t[z+i-x]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}