【2019.8.8 慈溪模拟赛 T2】query（query）（分治+分类讨论）

分治

首先，我们考虑分治处理此问题。

每次处理区间\([l,r]\)时，我们先处理完\([l,mid]\)和\([mid+1,r]\)两个区间的答案，然后我们再考虑计算左区间与右区间之间的答案。

处理的时候就需要分类讨论。

分类讨论

设\(Mn_x\)在\(l\le x\le mid\)时表示左区间的后缀最小值，\(mid+1\le x\le r\)时表示右区间的前缀最小值；\(Mx_x\)同理根据\(x\)的取值范围分别表示左区间的后缀最大值和右区间的前缀最大值。

考虑在左区间枚举左端点\(i\)，用双指针在右区间移动，把右区间划分成三部分。

第一部分，这段区间内的\(x\)满足\(Mn_x\ge Mn_i,Mx_x\le Mx_i\)。

那么当右端点取在这段区间内时，答案都取\(Mn_i\&Mx_i\)。

第二部分，这段区间内的\(x\)满足\(Mn_x\ge Mn_i,Mx_x>Mx_i\)或者\(Mn_x<Mn_i,Mx_x\le Mx_i\)。

此时最小值或最大值中的其中一个会取这段区间中的值，另一个会取\(i\)位置的值。

这里以这段区间中取最小值，\(i\)位置上取最大值为例。

那么就是将这段区间内的\(Mn_x\)全都\(\&\)上\(Mx_i\)之后再求和。

只要将每个\(Mn_x\)二进制分解一下，然后每一位求前缀和。

询问时枚举二进制下每一位，若\(Mx_i\)这一位上有值，就计入答案，否则忽略不计。

第三部分，这段区间内的\(x\)满足\(Mn_x<Mn_i,Mx_x>Mx_i\)。

这时候答案取\(Mn_x\&Mx_x\)，只要预处理一下就可以了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define LV 20
#define LL long long
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define Gmin(x,y) (x>(y)&&(x=(y)))
#define Gmax(x,y) (x<(y)&&(x=(y)))
using namespace std;
int n,a[N+5];
class FastIO
{
	private:
		#define FS 100000
		#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)
		#define tn (x<<3)+(x<<1)
		#define D isdigit(c=tc())
		char c,*A,*B,FI[FS];
	public:
		I FastIO() {A=B=FI;}
		Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn+(c&15),D);}
		#undef D
}F;
class DivideSolver//分治
{
	private:
		int Mn[N+5],Mx[N+5],Mn_[N+5][LV+5],Mx_[N+5][LV+5];LL ans,S[N+5];
		I void Work(int *sl,int *sr,CI v)
		{
			for(RI i=0;i<=LV;++i) v>>i&1&&(ans+=(1LL<<i)*(sr[i]-sl[i]));//枚举二进制下每一位计算答案
		}
		I void Divide(CI l,CI r)
		{
			if(l>=r) return;RI i,j,mid=l+r>>1;Divide(l,mid),Divide(mid+1,r);//递归处理子区间
			for(Mn[mid]=Mx[mid]=a[mid],i=mid-1;i>=l;--i)//预处理左区间后缀最小值/最大值
				Mn[i]=min(a[i],Mn[i+1]),Mx[i]=max(a[i],Mx[i+1]);
			for(Mn[mid+1]=Mx[mid+1]=a[mid+1],i=mid+2;i<=r;++i)//预处理右区间前缀最小值/最大值
				Mn[i]=min(a[i],Mn[i-1]),Mx[i]=max(a[i],Mx[i-1]);
			memset(Mn_[mid],0,sizeof(Mn_[mid])),memset(Mx_[mid],0,sizeof(Mx_[mid]));//清空
			for(i=mid+1;i<=r;++i) for(j=0;j<=LV;++j)//二进制分解右区间的Mn,Mx，并求前缀和
				Mn_[i][j]=Mn_[i-1][j],Mx_[i][j]=Mx_[i-1][j],
				Mn[i]>>j&1&&++Mn_[i][j],Mx[i]>>j&1&&++Mx_[i][j];
			for(S[mid]=0,i=mid+1;i<=r;++i) S[i]=S[i-1]+(Mx[i]&Mn[i]);//统计右区间Mn[x]&Mx[x]的和
			RI pl=mid,pr=mid+1;for(i=mid;i>=l;--i)//在左区间枚举
			{
				W(pl<r&&Mn[pl+1]>=Mn[i]&&Mx[pl+1]<=Mx[i]) ++pl;//指针在右区间移动
				W(pr<=r&&(Mn[pr]>=Mn[i]||Mx[pr]<=Mx[i])) ++pr;//指针在右区间移动
				ans+=1LL*(pl-mid)*(Mn[i]&Mx[i])+S[r]-S[pr-1];if(pl+1>pr-1) continue;//计算一、三两部分答案
				Mx[pl+1]>Mx[i]?Work(Mx_[pl],Mx_[pr-1],Mn[i]):Work(Mn_[pl],Mn_[pr-1],Mx[i]);//计算第二部分答案
			}
		}
	public:
		I void Solve()
		{
			for(RI i=1;i<=n;++i) ans+=a[i];//考虑单点答案
			Divide(1,n),printf("%lld",ans);//输出答案
		}
}D;
int main()
{
	freopen("query.in","r",stdin),freopen("query.out","w",stdout);
	RI i;for(F.read(n),i=1;i<=n;++i) F.read(a[i]);return D.Solve(),0;
}