Description

传说很久以前,大地上居住着一种神秘的生物:地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说,一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段,每段有一个独一无二的高度 Hi,其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高,则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉,其他都有两段(即左边和右边)。 类似地,如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低,则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒,酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸,地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物,他们在每座山峰上都可以设立瞭望台,并轮 流担当瞭望工作,以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一,只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道,长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i,使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大,你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行,两个正整数 N, P。

Output

仅含一行,一个非负整数,表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

HINT


对于 20%的数据,满足 N≤10;
对于 40%的数据,满足 N≤18;
对于 70%的数据,满足 N≤550;
对于 100%的数据,满足 3≤N≤4200,P≤109

题解:

非常强的思维题哈......

我们要明白一些关键的定理:

原问题是求波动数列的个数

(1).如果两个数i,i-1 且他们在数列中位置不相邻,那么交换他们两个,数列也为波动数列

(2).把一个波动数列同时变为n-i+1,那么依旧为波动序列,且某些山谷变山峰

所以我们设状态为f[i][j]表示:已经填了[1,i]这个范围的数,第一个数为j且j为峰顶的方案数

根据(1)可以得出f[i][j]=f[i][j-1] 因为交换j,j-1即可形成新方案 又因为我们强制j为峰顶,那么不会重复

根据(2)得:如果第二个数是j-1那么去掉第一个数j后,还剩[1,j-1]和[j+1,i]所以我们把后一个区间数都减1,就变成了一个[1,i-1]的排列,所以我们强制第二个数为j-1,且为谷,那么怎么转移呢?

因为满足(2)的对称性那么可以从f[i-1][(i-1)-(j-1)+1]得出不是吗?

综上f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j+1]

最后记得答案乘二,因为满足对称性

 #include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=;
int f[][N];
void work()
{
int n,mod;
scanf("%d%d",&n,&mod);
bool tt=,t=;
f[tt][]=;
for(int i=;i<=n;i++){
for(int j=;j<=i;j++){
f[t][j]=(f[t][j-]+f[tt][i-j+])%mod,f[t][j]%=mod;
}
t^=;tt^=;
}
int ans=;
for(int i=;i<=n;i++)
ans+=f[tt][i],ans%=mod;
printf("%d\n",(ans<<)%mod);
} int main()
{
work();
return ;
}

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