WC2020 联训 #19 矩阵

好不容易自己切一道题

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Description

在一个 \(n×(n+1)\) 的棋盘上放棋子， \(n\) 行中每行都恰好有两枚棋子，并且 \(n+1\) 列中每列都至多有两枚棋子，设 \(n=k\) 时答案为 \(ans_k\) ，求 $\sum_{i=l}^rans_i \times 233^{i-l} \mod 998244353 $ .

Solution

p.s. 标算是什么乱七八糟的东西

假设填满为在该行/列填了2个棋子，显然只有两种情况，\(n+1\) 列中只有一列全空，或有两列半满，设这两种情况的答案为\(f_i\)和\(g_i\).

然后发现难以转移

可以发现难以转移的原因是行和列要同时扩展，那么可以将该棋盘旋转\(90^{\circ}\)，然后只需在原基础上扩展2列。
分类讨论后可知：\(f_i=(i+1)f_{i-1}\ \ \ g_i=i(i+1)g_{i-1} +\frac{i(i+1)}{2} f_{i-1}\)

比标算好想好写