二进制补码：Why & How

二进制补码：Why & How

学习计算机原理或者语言的底层操作难免会遇到用二进制补码表示负数的问题。由于一些书本上对于采用补码的原因没有详细解释，很多人会认为这只是一种规定，但实际上采用补码是因为这种表示方法拥有实际的优势。而对于求补码的方法“按位取反再加一”，给出解释的资料就更少，本文试图给出二进制补码的优势和求法的简单解释。

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Why

首先回答为什么要使用补码的问题。补码是一种计算机中负数的表示方法，当然，计算机中可以表示负数的方法不止补码一种，但目前几乎只有补码这种方法得到了广泛运用。数字的表示方法影响到数字在计算机中的存储和运算，下面对比三种可行的负数表示法来说明补码在这两方面的优势。

• 带符号的原码

  最容易想到的负数表示方法就是将一个二进制位用来表示数的符号，例如规定数字的最高位是0时为正数，是1时为负数，把这一最高位加在负数绝对值的二进制表示（也即原码）的前面。这种方法非常直观易懂，例如3₁₀可以被表示为0011₂而-3₁₀可以表示为1011₂。我们平时在进行整数运算时可以把符号当作减号，但计算机执行简单的加法时并不会这样处理，以-3₁₀+3₁₀为例，计算机将0011₂+1011₂相加后得到1110₂=6₁₀从而产生了完全错误的结果。当然通过额外的电路或者程序可以让计算机像我们一样处理负号，但这会增加电路成本或影响性能。

• 偏置数制

  为了解决运算负数在计算机中的运算问题，可以让存储的二进制值表示它的值减去某个数得到的数字。例如，对于三位二进制数，规定计算机存储的二进制数a实际上表示的是a-4对应的数字。这样000₂不再表示0₁₀而是-4₁₀，而100₂才表示0₁₀。这样的三位二进制数可以表示[-4, 3]范围内的所有整数，而由于并不存在需要额外处理的符号位，直接对偏置数制表示的二进制数进行加法得到的结果总是正确的。这种表示法的问题在于，要想得到存储的二进制数原来表示的数字，总要将其再加上某个数值——虽然稍显麻烦，但这已经比带符号原码在每次运算时都要处理符号要进了一大步。

• 补码

  补码是一种兼具上面两种表示法特点和优势的数制。补码同样使用二进制数的最高位来表示符号，并规定最高位为1时表示负数。不同于带符号的原码的是，当表示负数时，补码采用偏置数制。例如，表示-4₁₀时，首先将-4₁₀+8₁₀得到偏置数100₂，然后在前面加上符号位1得到1100₂，即是-4的四位二进制补码；正数的表示方法则与带符号的原码完全相同。注意这里所说的偏置数制与上述的略有不同，这里的二进制表示和实际数值差8而不是4，这是因为我们想利用低三位表示[-8,-1]范围的数。补码的正数和负数加法都很好理解，因为正数加正数或负数加负数并不涉及符号位的变化。而对于正数加负数，补码也能得到正确的结果，以-2₁₀+3₁₀为例，1110₂+0011₂=0001₂，注意到最高位因为来自低位的进位而由1变成了(1)0，最高位产生的进位溢出而被忽略，这样的溢出不会造成运算结果出错所以无需顾虑。补码表示法下的负数加上正数时，若正数大于等于负数的绝对值，将产生一个向最高位的进位而改变符号，从而保证了结果的正确性。你也许要为偏置数制争辩，尽管补码可以让正数容易得到，但负数却还是需要额外的运算。下面将展示这种计算可以是相对简单的。

How

至于如何从负数的原码得到补码，几乎所有的教科书都给出了“绝对值按位取反再加一”这一捷径，但关于其中道理能阐明的却很少。对最高位取反很容易理解，因为绝对值为正，需要变换符号才能表示负数，我们着重讨论低位的情况。以4位二进制补码为例，除最高位外的低3位实际上表示该负数a比-8大了多少（例如-2₁₀的补码1100₂的低三位100₂=6₁₀表示-2比-8大6），也即：

a+8=a-(-8)

换句话说，这是求该负数的绝对值比8小了多少：

a-(-8)=8-(-a)=8-|a|

不过我们更希望能用7₁₀去减掉a的绝对值，因为7₁₀是0111₂，而0111₂去减掉任意一个[1₁₀, 7₁₀]内的数（也即[0001₂, 0111₂]内的数）的差正好是被减数的按位取反（对于每一位，1-0=1；1-1=0）。但记住，我们要求的值是与8的差，如果用7去减就要再加一补回来：

8-|a|=7-|a|+1

这就是按位取反再加一的原理，尽管我们是用4位二进制补码来演示的，对于更高位数也很容易想象到推广的情形。 值得一提的是，虽然上面的分析是从方便我们计算的角度考虑的，但实际上“按位取反再加一”是为了方便计算机计算而产生的技巧（取反和加一都是很容易实现的操作），也同时是补码相对于其他两种表示法的优越性所在。