【题解】BZOJ5093图的价值(二项式+NTT)

【题解】BZOJ5093图的价值(二项式+NTT)

今天才做这道题，是我太弱了

强烈吐槽c++这种垃圾语言tmd数组越界不re反倒去别的数组里搞事情我只想说QAQ

推了一张A4纸的式子

考虑每个点的度数，因为每个点虽然有标号但是是等价的，对于每个点，对于答案的贡献是\(x\)，答案输出\(n\times x\)就好了，所以答案是

\[n\sum_{i=1}^{n-1} i^{k} {n-1\choose i}2^{\frac {n(n-1)} 2-(n-1)}
\]

顺次解释：度数\(^k\),选择\(i\)个别的点去连接，剩下的边随便连

无关项提出来

\[n2^{\frac {n(n-1)} 2-(n-1)}\sum_{i=1}^{n-1} i^{k} {n-1\choose i}
\]

现在就是要求

\[\sum_{i=1}^{n-1} i^{k} {n-1\choose i}
\]

自然幂数和公式

\[i^k=\sum_{j=0}^{\min\{i,k\}} {k\brace j}\begin{pmatrix} i \\j\end{pmatrix}j!
\]

套进去

\[\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=0}^{\min\{i,k\}} {k\brace j}\begin{pmatrix} i \\j\end{pmatrix}j! {n-1\choose i}
\]

先枚举\(j\)

\[\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{i=j}^{n-1}{k\brace j}j!{n-1\choose i}{i\choose j}
\]

整理

\[\sum_{j=0}^{n-1}{k\brace j}j!\sum_{i=j}^{n-1}{n-1\choose i}{i\choose j}
\]

套一下公式(备胎模型)

\[\sum_{j=0}^{n-1}{k\brace j}j!\sum_{i=j}^{n-1}{n-1-j\choose j}{n-1-j\choose i-j}
\]

又可以提出来

\[\sum_{j=0}^{n-1}{k\brace j}{n-1-j\choose j}j!\sum_{i=j}^{n-1}{n-1-j\choose i-j}
\]

稍微改变一下形式

\[\sum_{j=0}^{n-1}{k\brace j}{n-1-j\choose j}j!\sum_{c=i-j=0}^{c=i-j\le n-1-j}{n-1-j\choose c}
\]

二项式定理套

\[\sum_{j=0}^{n-1}{k\brace j}{n-1-j\choose j}j!2^{n-1-j}
\]

我们晓得当\(k > j\)时式子的值\(=0\),所以枚举到\(\min \{n-1,k\}\)就好了。问题在于如何快速求那个斯特林数

斯特林数的容斥式

\[{k\brace j}=\dfrac 1{j!} \sum_{i=0}^{j-1} (-1)^i{\begin{pmatrix}j\\i\end{pmatrix}}(j-i)^{k}
\]

拆拆又是一个NTT的式子，不赘述了，看上面那个链接博客里有

答案式子

\[n2^{\frac {n(n-1)} 2-(n-1)}\sum_{j=0}^{n-1}{k\brace j}{n-1-j\choose j}j!2^{n-1-j}
\]

指数上取膜，又是欧拉定理

写一下NTT就好了

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;  typedef long long ll;
inline int qr(){
      register int ret=0,f=0;
      register char c=getchar();
      while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
      while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
      return f?-ret:ret;
}

namespace poly{
      const int maxn=1<<19|1;
      int a[maxn],b[maxn],r[maxn];
      int savlen;
      inline void getr(const int&len){
	    if(len==savlen)return;
	    int cnt=0;
	    for(register int t=1;t<len;t<<=1)++cnt;
	    for(register int t=1;t<len;++t)
		  r[t]=r[t>>1]>>1|(t&1)<<cnt>>1;
      }
      const int mod=998244353;
      const int g=3;
      inline int ksm(int base,int p){
	    register int ret=1;
	    for(base%=mod;p;p>>=1,base=1ll*base*base%mod)
		  if(p&1) ret=1ll*ret*base%mod;
	    return ret;
      }
      const int gi=ksm(3,mod-2);
      inline void NTT(int*a,const int&len,const int&tag){
	    getr(len);
	    for(register int t=1;t<len;++t)
		  if(r[t]>t) swap(a[t],a[r[t]]);
	    int *a1,*a0,s=g;
	    if(tag!=1) s=gi;
	    for(register int t=1,wn;t<len;t<<=1){
		  wn=ksm(s,(mod-1)/(t<<1));
		  for(register int i=0;i<len;i+=t<<1){
			a1=(a0=a+i)+t;
			for(register int j=0,w=1,tm;j<t;++j,++a1,++a0,w=1ll*w*wn%mod){
			      tm=1ll**a1*w%mod;
			      *a1=(*a0-tm)%mod;
			      *a0=(*a0+tm)%mod;
			      if(*a1<0)*a1+=mod;
			}
		  }
	    }
	    if(tag!=1)
		  for(register int t=0,in=ksm(len,mod-2);t<len;++t)
			a[t]=1ll*a[t]*in%mod;
      }
}

using poly::mod;
using poly::NTT;
using poly::ksm;
const int maxn=2e5+5;
int jc[maxn],inv[maxn];
int t1[1<<19|1];
int s[1<<19|1];
int n,k,L,len;
int ret,ans;

inline void pre(){
      jc[0]=inv[0]=1;
      for(register int t=1;t<maxn;++t)
	    jc[t]=1ll*jc[t-1]*t%mod;
      inv[maxn-1]=ksm(jc[maxn-1],mod-2);
      for(register int t=maxn-2;t;--t){
	    inv[t]=1ll*inv[t+1]*(t+1)%mod;
	    //if(t<15)cout<<"qaq="<<inv[t]<<endl;
	    if(inv[t]==0) return void(cout<<"t="<<t<<endl);
      }
}

inline int c(const int&n,const int&m){
      if(n<m)return 0;
      return 1ll*jc[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}

int main(){
      pre();
      n=qr();k=qr();
      L=min(n-1,k);
      len=1;
      while(len<=L)len<<=1;
      for(register int t=0;t<=L;++t){
	    s[t]=inv[t];
	    if(t&1) s[t]=mod-s[t];
	    t1[t]=1ll*inv[t]*ksm(t,k)%mod;
      }

      NTT(t1,len<<1,1);NTT(s,len<<1,1);

      for(register int t=0;t<len<<1;++t) s[t]=1ll*s[t]*t1[t]%mod;
      NTT(s,len<<1,-1);
      for(register int t=k+1;t<len<<1;++t) s[t]=0;
      int p=(1ll*n*(n-1ll)/2%(mod-1)-n+1+mod-1)%(mod-1);
      ret=1ll*ksm(2,p)*(n%mod)%mod;
      int w=1;
      for(register int t=0;t<=L;++t){
	    ans=(ans+1ll*jc[t]*w%mod*ksm(2,n-1-t)%mod*s[t]%mod)%mod;
	    w=1ll*w*(n-1-t)%mod*inv[t+1]%mod*jc[t]%mod;
      }
      cout<<1ll*ret*ans%mod<<endl;
      return 0;
}