@codeforces - 1209H@ Moving Walkways
@description@
机场中常常见到滑行道:假如一个滑行道的运行速度为 s,你的行走速度为 v,则你的真实速度为 s + v。
Limak 在数轴上走,想要从 0 走到 L。
数轴上有 n 个不相交的滑行道(但是可以端点重叠),第 i 个滑行道占用区间 [xi, yi],且它的运行速度为 si。
Limak 想要恰当地分配他的能量:他的初始能量为 0,且在任意时刻必须为非负数。
每个时刻 Limak 都可以随意调整他的速度 v,但必须在 [0, 2] 中。
每单位时间内他将失去 v 的能量,但同时会恢复 1 的能量。即他将获得 (1-v) 的能量。
求到达 L 的最短时间。
Input
第一行两个整数 n, L (1≤n≤200000, 1≤L≤10^9),含义如上。
接下来 n 行,每行包含整数 xi, yi 以及实数 si (0≤xi<yi≤L, 0.1≤si≤10.0)。
保证 y[i] <= x[i+1],对于 1 <= i < n。
Output
输出一个实数,表示最短时间。
Examples
input
1 5
0 2 2.0
output
3.000000000000
input
1 5
2 4 0.91
output
3.808900523560
@solution@
一个敏锐的选手应该感觉得到,这个能量 e 的定义与位移 x 大同小异:
能量 e 定义每单位时间增加 (1-v),位移 x 定义为每单位时间增加 v,则 e + x 每单位时间增加 1。
于是得到某段时间内 e + x = t,所以 v 这个量就没什么价值了。但是要保证 0 <= x <= 2*t(对应速度 v 的取值区间在 [0, 2] 中这一限制)。
将没有滑行道的地方看作运行速度为 0 的滑行道。
考虑某一个滑行道,其长度为 l,运行速度为 s。则令完全地通过这个滑行道耗费时间为 t,有 l = s*t + x = s*t + (t - e) = (s + 1)*t - e。
这样一来,对于某一个滑行道,实际上只有两个量是不确定的:时间 t 与对应时间内的能量变化量 e。
我们对于每个滑行道,建立以 e 为自变量,t 为因变量的函数关系,即:
\]
尝试取出这个函数的定义域。根据 0 <= x <= 2*t 得到 0 <= t - e <= 2*t,再代入 t = (l + e) / (s + 1) 就可以得到 e 的范围(过程省略):
\]
需要注意 s 可以取 0,这时候 e 的上界为正无穷。
我们的问题转变为,求一个数列 e[1], e[2], ...,使得 ei 在一个给定的范围内,且这个数列的任意前缀和为非负整数(这个数列表示每一个滑行道的能量变化值),而 f1(e[1]) + f2(e[2]) + ... 最大。
观察上面我们的 e-t 函数,它是一次函数且单增,即 e 增大则 t 增大。
注意到这个问题其实很像括号匹配问题。假如 e[i] 减小,则必须要有一个 e[j](j < i)要增大,且变化量相同。
如果 fi(e[i]) 的斜率 ≥ fj(e[j]) 的斜率,则这个方法是一定优秀的;否则是一定不优秀的。
于是我们就可以设计一个贪心算法:将所有函数按斜率从大到小排序,对于当前函数 fi,从 i 之前取走尽量多的能量贡献给 i。容易验证这个算法的正确性。
具体实现,可以先将 e[i] 设置为其上界,维护其前缀和。然后如果扫描到某个 e[x],尝试将 e[x] 取到最小值,同时保证前缀和非负。
这个线段树随便搞搞。
因为 s = 0 时,e 无上界。代码实现时有些小 trick。
总时间复杂度为 O(nlogn)。
@accepted code@
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef double db;
const int MAXN = 200000;
const db EPS = 1E-7;
const db INF = 1E10;
struct segtree{
#define lch (x<<1)
#define rch (x<<1|1)
struct node{
int l, r;
db tg, mn;
}t[8*MAXN + 5];
void build(int x, int l, int r) {
t[x].l = l, t[x].r = r, t[x].mn = 0;
if( l == r ) return ;
int mid = (l + r) >> 1;
build(lch, l, mid), build(rch, mid + 1, r);
}
void pushup(int x) {
t[x].mn = min(t[lch].mn, t[rch].mn);
}
void pushdown(int x) {
if( t[x].tg ) {
t[lch].tg += t[x].tg, t[rch].tg += t[x].tg;
t[lch].mn += t[x].tg, t[rch].mn += t[x].tg;
t[x].tg = 0;
}
}
void modify(int x, int l, int r, db k) {
if( l > t[x].r || r < t[x].l )
return ;
if( l <= t[x].l && t[x].r <= r ) {
t[x].tg += k, t[x].mn += k;
return ;
}
pushdown(x);
modify(lch, l, r, k);
modify(rch, l, r, k);
pushup(x);
}
db query(int x, int l, int r) {
if( l > t[x].r || r < t[x].l )
return INF;
if( l <= t[x].l && t[x].r <= r )
return t[x].mn;
pushdown(x);
return min(query(lch, l, r), query(rch, l, r));
}
}T;
struct node{
db v0, s; int id;
friend bool operator < (node a, node b) {
return a.v0 < b.v0;
}
}a[2*MAXN + 5];
db e[2*MAXN + 5];
int n, L;
int main() {
scanf("%d%d", &n, &L);
int lst = 0, cnt = 0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
int x, y; db s;
scanf("%d%d%lf", &x, &y, &s);
cnt++, a[cnt].id = cnt, a[cnt].v0 = 0, a[cnt].s = x - lst;
lst = y;
cnt++, a[cnt].id = cnt, a[cnt].v0 = s, a[cnt].s = y - x;
}
cnt++, a[cnt].id = cnt, a[cnt].v0 = 0, a[cnt].s = L - lst;
sort(a + 1, a + cnt + 1); T.build(1, 1, cnt);
for(int i=1;i<=cnt;i++)
if( a[i].v0 ) T.modify(1, a[i].id, cnt, e[i] = a[i].s/a[i].v0);
else e[i] = 0;
for(int i=1;i<=cnt;i++) {
// printf("%lf %lf %lf\n", e[i], a[i].s, a[i].v0);
}
for(int i=1;i<=cnt;i++) {
db x = e[i] - (-a[i].s/(a[i].v0 + 2)), y = T.query(1, a[i].id, cnt), z = min(x, y);
// printf("%d %lf %lf\n", i, x, y);
T.modify(1, a[i].id, cnt, -z), e[i] -= z;
}
db ans = 0;
for(int i=1;i<=cnt;i++) {
ans += (e[i] + a[i].s) / (a[i].v0 + 1);
// printf("%d : %lf %lf %lf\n", a[i].id, e[i], a[i].s, a[i].v0);
}
printf("%.10lf\n", ans);
}
@details@
虽然题目只给了 n 个滑行道,但滑行道之间那些“运行速度为 0 的滑行道”也有 n + 1 个,所以总共 2*n 个滑行道。因此线段树要开到 8*MAXN。
因为这种很 sb 的原因 RE 了一次。。。
@codeforces - 1209H@ Moving Walkways的更多相关文章
- Codeforces 1311F Moving Points
题目链接 根据题意,d是两个点的最短距离,分析知,假设\(x_i\)<\(x_j\), 若\(v_i\)>\(v_j\),那么d(i,j)一定为0,因为i一定能追上j,否则,d(i,j)就 ...
- Codeforces Round #624 (Div. 3) F. Moving Points 题解
第一次写博客 ,请多指教! 翻了翻前面的题解发现都是用树状数组来做,这里更新一个 线段树+离散化的做法: 其实这道题是没有必要用线段树的,树状数组就能够解决.但是个人感觉把线段树用熟了会比树状数组更有 ...
- 详细讲解Codeforces Round #624 (Div. 3) F. Moving Points
题意:给定n个点的初始坐标x和速度v(保证n个点的初始坐标互不相同), d(i,j)是第i个和第j个点之间任意某个时刻的最小距离,求出n个点中任意一对点的d(i,j)的总和. 题解:可以理解,两个点中 ...
- Codeforces Round #693 (Div. 3) G. Moving to the Capital (图,dp)
题意:有一张有向图,每个点的权值为点\(1\)到该点的最短距离(每条边的长度为\(1\)),对于一条路径,这条路径上最多只能有一条边,这条边起点的权值不小于终点,现在要求每个点能到达路径上的点的最小权 ...
- Codeforces Round #582 (Div. 3) A. Chips Moving
传送门 题解: 给你n个数的坐标,你需要把他们移动到一个位置,有两种移动方式 1.向左或者右移动2 2.向左或者右移动1,但是耗费1 求最小耗费 题解: 很简单就可以想到,看一下偶数坐标多还是奇数坐标 ...
- Codeforces 586D. Phillip and Trains 搜索
D. Phillip and Trains time limit per test: 1 second memory limit per test :256 megabytes input: stan ...
- codeforces 519E A and B and Lecture Rooms LCA倍增
Time Limit:2000MS Memory Limit:262144KB 64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Prac ...
- [codeforces 293]A. Weird Game
[codeforces 293]A. Weird Game 试题描述 Yaroslav, Andrey and Roman can play cubes for hours and hours. Bu ...
- CodeForces 222B Cosmic Tables
Cosmic Tables Time Limit:3000MS Memory Limit:262144KB 64bit IO Format:%I64d & %I64u Subm ...
随机推荐
- 原生JS上传,实现预览并且兼容大部分IE
// 前提条件: ie浏览器模式下,用户要允许ie默认的加载项:以下兼容ie的方法才会生效 // 图片上传预览 IE是用了滤镜 function previewImage(file) { var MA ...
- Jeecms网站直接访问html静态页面
jeecms网站维护,遇到了直接通过链接的方式访问静态页面,jeecms官网也做了详细的解答,但是没有得到满意的结果.但是通过自己的深入研究以及别人的帮助,发现了一个很好的解决方法. 首先说明一下je ...
- Dijkstra,floyd,spfa三种最短路的区别和使用
这里不列举三种算法的实现细节,只是简单描述下思想,分析下异同 一 Dijkstra Dijkstra算法可以解决无负权图的最短路径问题,只能应付单源起点的情况,算法要求两个集合,开始所有点在第二个集合 ...
- 跟我一起做一个vue的小项目(一)
项目架子 npm install --global vue-cli vue init webpack travel cd travel/ npm run dev 运行效果 添加home页及其路由,添加 ...
- vue-eslint配置文件
做项目的时候,我把eslint设置为了false,可想而知提交会产生的冲突 让我一个一个解决肯定不可能的,eslint的rule很多 在vue的配置文件.eslintrc.js中配置以下选项 这样只需 ...
- Django项目:CRM(客户关系管理系统)--11--04PerfectCRM实现King_admin注册功能03
#base_admin.py #Django admin 注册功能的形式 # sites = { # 'crm':{ # 'customers':CustomerAdmin, # 'customerf ...
- callee和caller属性的区别
在函数内部,有两个特殊的对象:arguments和this .arguments是一个类数组对象,用于存放传入函数中的所有参数. callee是arguments对象的属性,caller是所有函数对象 ...
- StringBuilder / StringBuffer类
StringBuilder类 和 StringBuffer 类的由来? 在Java中使用String 类可以描述所有的字符串数据,但是String类的对象一旦创建,则该对象的字符序列 就不可更改,当需 ...
- NFS客户端挂载目录后无写入权限的解决方案
转载至:https://blog.csdn.net/younger_china/article/details/52089337 在客户机通过 mount -o rw -t nfs 192.168.1 ...
- 项目ITP(七) javaWeb 整合 Quartz 实现动态调度 而且 持久化
版权声明:本文为博主原创文章.未经博主同意不得转载. https://blog.csdn.net/u010378410/article/details/36255511 项目ITP(七) javaWe ...