定点CORDIC算法求所有三角函数及向量模的原理分析、硬件实现（FPGA）

一、CORDIC算法

　　CORDIC（Coordinate Rotation DIgital Computer）是一种通过迭代对多种数学函数求值的方法，它可以对三角函数、双曲函数和平面旋转问题进行求解。

　　在CORDIC之前，要对特殊函数求值，最自然的方法便是级数展开，例如利用泰勒展开来逼近目标函数，只要阶数取得足够大，就可以无限逼近目标函数。级数展开在数学上是完美的，但运用到计算机时，我们很快就会发现问题：级数展开本质是用多项式函数来近似目标函数，这其中包括大量复杂浮点运算，对于没有硬件浮点运算单元的平台，只能通过软件浮点实现，效率很低。

　　CORDIC的出现解决了这个问题。该算法利用迭代逼近的方法，仅仅通过加/减和移位操作，即可求出特殊函数的值，极大的方便了计算机实现。

本文所做的工作：

　　一、从CORDIC算法正向角度分析三角函数（sin, cos, tan）对任意角的求值；

　　二、从CORDIC算法逆向角度分析反三角函数（arcsin、arccos、arctan）对任意角的求值、向量模的求值；

　　三、分析定点运算的实现及软件模型的建立

　　四、通过Verilog HDL设计硬件。

本文代码仓库详见：https://github.com/sci-dev-git/CORDIC-all-in-one-verilog

二、核心思想

　　正如该算法的名字所说，CORDIC最初是为一种用来进行坐标轴旋转的专用计算机开发的（其原型硬件于1959年成功应用于实时导航）。既然只是坐标轴旋转，算法最早的出发点也许是解决旋转问题。追根溯源，早期研究者是如何想到这个算法的呢？它与函数求值究竟有什么关系？这正是接下来笔者尝试说明的问题。

　　【1】、从算法的正向角度（对于确定的点，已知旋转角，求旋转后的坐标）分析：

　　假设现在我们要将一个直角坐标系中的点P(x₀, y₀)绕原点逆时针旋转z₀角度，则变换后的点P¹(x₁, y₁)坐标如下：

　　我们发现这个转换式中涉及三角函数，但现在假设机器还不能求任意三角函数值，那么能否改进？

　　可以考虑查表实现，但查表法要求数据必须是离散的，这样旋转角只能取有限个值。如何对任意的旋转角求解？

　　简单，利用迭代逼近，把目标角度分成若干个小角度，每次迭代只旋转一个特定角度并靠近目标，通过若干次迭代后，点就被旋转到了近似的位置上。关键点是，通过特定的分割，使得每次旋转的角度都是特定角，如果将些特定角的三角函数值固化到列表中，就可以利用查表绕开三角函数的计算。对计算机而言虽然需要迭代多次，但每次都是简单运算，总体速度快于复杂的三角求值。一般该算法的结果只是近似值，但通过设置迭代次数就可以控制精度，迭代次数越多，精度越高，并最终趋于稳定。

　　

例如：将点P0旋转z = 50°到P‘，求P’坐标。

　　首先说明：对所有问题来说，z的取值都是[0,90°]，因此假设每次旋转的角度都是90°的n分之一，这样便于制作三角函数表。

　　第一步正向旋转45°变换到P1，发现没有达到目标角度；因此又继续将P1正向旋转22.5°变换到P2，发现超出了目标角度；于是继续逆向旋转11.25°变换到P3，也超出了目标角度；再逆向旋转5.625°，到达P4，这时我们发现P4已经很趋近答案了，在该精度内可以用P4近似表示P’坐标。

　　这个算法基本上解决了旋转变换中三角函数的问题，但并不完美：每次迭代都需要进行4次浮点乘法运算，因为旋转角z的正余弦都是复杂的浮点数，例如cos 22.5° ≈ 0.923879，浮点运算的开销比较明显。

　　继续观察旋转变换式，可以变形成：

　　上式仍然涉及两个三角函数，但是cos被放到了一边，于是重点研究tan。将角度z微分为n个小角度，如果像下面这样特殊选取z，使tan z恰好只与2的幂有关，则原本复杂的乘tan zn运算就可以通过右移n位实现（x_n，y_n都是整数，相关问题在后面讨论），这对二进制计算机是非常自然的。通过这种方法成功地消除了乘法。

　　结合上面的变换式子，并把cosz隐藏到系数P中，我们就有了递推关系（其中n表示当前迭代次数，n+1则表示下一次迭代。这里只写出了逆时针旋转的情况，顺时针旋转改变1/2ⁿ项的符号即可。）

　　由于n是离散的，并且z = atan(1/2ⁿ)可以提前计算，所以可用查表的方法快速得出z的值，这样系数P_n也可以通过查表求出，但系数P_n仍是浮点数。

　　到这里，原先算法的4次浮点运算，被成功减少到了只有2次，我们离真正的CORDIC算法已经很近了。

　　但问题还没有结束，如果迭代n次的话，仍需要进行2n次浮点运算，有没有优化的余地呢？引起2n次浮点运算的原因是每次都需要与系数Pn相乘，这样做真的有必要吗？

　　构造辅助三角形，可以得出：

　　因此P_n的取值只与n有关，而与别的变量没有关系。P_n完全可以在所有迭代都完成后单独计算，在最后将结果乘P=ΠP_n即可。

　　对于根据迭代较少的情况，可以将P的不同取值固化到表格中，通过查表快速求出。

　　而对于迭代次数较多的情况，可以将P看作常数近似处理，这是因为随着n的增加，P逐渐稳定下来：

　　通过数值统计，我们可以看出具体多少次迭代以后开始可以将P看作常量。从图中可以看出从n=8开始比较合适。当n<3时P的取值变化较大，但事实上小于3次的迭代基本上是没有意义的（求解特殊角除外）。

　　

　　到这里整个算法只需在最后进行一次浮点运算，而每次迭代都只涉及简单的加/减和位移运算了！！！

　　虽然有了这个快速旋转变换算法，但我们的最终目标并不在于此，而是求三角函数的值，如何通过旋转求三角函数？

　　简单。借助单位圆这个工具，在直角坐标系中将点(0, 1)绕原点旋转至α角上，则旋转后的点的横纵坐标对应的正是cosα、sinα的值，tanα也可以利用比值求出，这正是利用CORDIC求三角函数的核心思路。下图显示了CORDIC算法的迭代过程。

　　上述算法可用伪代码描述如下：

     ) Then
         X(n + ) := X(n) – (Yn >> n)
         Y(n + ) := Y(n) + (Xn >> n)

         Z(n + ) := Z(n) - atan(/^n)
     Else
         X(n + ) := X(n) + (Yn >> n)
         Y(n + ) := Y(n) – (Xn >> n)

         Z(n + ) := Z(n) + atan(/^n)
     End if
 End for

　　【2】、从算法的逆向角度（对于确定的点，已知旋转后的点坐标，求旋转角）说起。

　　从正向分析或者逆向分析，角度不同，解决的问题也不同。

　　仍然在单位圆内，假设已知正弦或余弦中的一个值，如何求对应的反三角函数？这里以求反正弦函数为例说明，已知反正弦函数自变量为S，我们将点(1, 0)逆时针旋转，如果转到某个角度该点的纵坐标恰等于S，说明这个角度就是反正弦函数的值；同理反余弦函数也可用用类似的方法算出。

　　接下来继续分析反正切的情况，已知正切值，则可以得出对应的单位圆上的点P₀(x₀, y₀)。如果将点P₀旋转一个角度，使旋转后的点纵坐标变成0，那么这个角度正是反正切函数的值。

　　以上便是利用CORDIC求反三角函数的所有思路。

　　现在留下的问题是到底旋转多少角度才合适。CORDIC同样以迭代逼近的方法解决这个问题。

　　以求反正切函数为例：这里只讨论z在0到90°范围内（即x₀, y₀都为正）的情况。我们可以先将原始点旋转atan(-1/2)角度进行试探，旋转完成后发现点纵坐标仍然大于0，于是继续旋转atan(-1/4)、atan(-1/8)到达图中草绿色终点，这个时候发现纵坐标小于0，说明旋转过头了，于是再反方向旋转atan(-1/16)角度到达蓝色终点，若此时点的纵坐标在规定精度内接近0则迭代结束，可以通过累加所有迭代中旋转的角度增量求出α的具体数值，这个总角度α正是atan的值。

　　通过第一小节的讨论可以看出，递推式中系数P在几何上的效果是缩放了旋转半径（点到坐标原点的距离）。由于求反正切函数过程中只用到旋转角，而旋转角与旋转半径与无关，所以不需要考虑系数P。

　　上述算法可用伪代码描述如下：

 A := 

     ) Then
         X(n + ) := X(n) + (Yn >> n)
         Y(n + ) := Y(n) - (Xn >> n)

         A := A + atan(/^n)
     Else
         X(n + ) := X(n) - (Yn >> n)
         Y(n + ) := Y(n) + (Xn >> n)

         A := A - atan(/^n)
     End if
 End for

　　理解了求反正切函数的思路后，我们就可以着手考虑反正弦和反余弦函数的求值。比较可知，旋转过程中，对反正切函数要求旋转点的纵坐标趋于0，而对反正弦函数要求旋转点纵坐标趋于特定值S（函数自变量的取值）。可以发现，前者所涉及的的旋转是后者的一种特殊情况，这样只需简单修改前者就可以得出适用后者的旋转算法。

 limP := 0.607253
 A :=
 B := S / limP

     If (Y(n) >= B) Then
         X(n + ) := X(n) + (Yn >> n)
         Y(n + ) := Y(n) - (Xn >> n)

         A := A + atan(/^n)
     Else
         X(n + ) := X(n) - (Yn >> n)
         Y(n + ) := Y(n) + (Xn >> n)

         A := A - atan(/^n)
     End if
 End for

　　需要解释的是B := S / limP，这里为什么需要将S放大1/limP倍呢？原因很简单，由于在每次迭代时都忽略了系数Pn<1，这会导致Y(n)比未忽略系数时大出1/Pn倍。为了使Y(n)与S能够进行比较，需要将S同比例放大1/Pn倍，这样每次迭代又将引入浮点运算。直接近似Pn = limP虽然会引入细微的精度损失，但避免了大量浮点运算。

　　同理，也可以得出旋转点横坐标趋于特定值的算法。

 limP := 0.607253
 A :=
 B := S / limP

     If (X(n) >= B) Then
         X(n + ) := X(n) - (Yn >> n)
         Y(n + ) := Y(n) + (Xn >> n)

         A := A - atan(/^n)
     Else
         X(n + ) := X(n) + (Yn >> n)
         Y(n + ) := Y(n) - (Xn >> n)

         A := A + atan(/^n)
     End if
 End for

　　

　　至此所有关于利用CORDIC求三角和反三角函数的分析就结束了。

　　借鉴上面求反正切角函数的思路，我们也可以看出向量求模的运算方法。直角坐标系中，将目标向量V的起点平移到坐标原点，终点用坐标(x₀, y₀)表示。如果把这个点旋转到x轴（或y轴）上，则旋转后的点对应的横坐标（或纵坐标）正是该向量的模长|V|。

　　该算法的核心与求反正切函数基本相同，这里不再赘述。

　

　　除三角反三角函数和向量模外，CORDIC可以完成的运算还有很多，本文不再重点讨论。

三、定点运算实现及软件模型建立

　　如果能用整数表示浮点数，则可以通过整数运算完成实数运算。在一定精度内，定点数与浮点数可以通过比例放缩互相转换。

　　首先确定整数位宽，这里以16位为例，

　　1、量化角度：在直角范围内，可以将正整数的取值区间均分为coeff = 2^14 / 90 = 182个单位，则一个单位对应角度的数量级为10^-2。任意给定浮点角度Z°，其对应的定点角度为floor(Z * coeff)；

　　2、量化坐标(x, y)：将原始坐标放大coeff倍并取整即可得出定点坐标。但若坐标取值较大则存在溢出风险，需另选系数。

　　上述两点措施完成了算法输入的定点量化；而对于算法的输出，只需将定点数缩小coeff倍即可得到最终的浮点结果。

　　现在终于可以开始设计工作了。不过在硬件设计之前，先考虑软件模型是有必要的，因为软件语言的抽象程度高于硬件描述语言，可以更加紧凑地对算法进行描述，同时能快速地进行调试。

　　软件模型主要涉及两个核心算法：旋转和反旋转。

旋转算法的C语言模型：

　　https://github.com/sci-dev-git/CORDIC-all-in-one-verilog/blob/master/CORDIC-rotate-fixed-point.c

反旋转算法：

　　https://github.com/sci-dev-git/CORDIC-all-in-one-verilog/blob/master/CORDIC-anti-rotate-fixed-point.c

四、FPGA实现

　　本文到这里已经接近尾声了，通过铺垫，FPGA的实现自然水到渠成。这一小节主要解决的问题是硬件实现的相关细节，例如象限转换，流水化处理等。采用流水线的目的在于提高时钟频率，例如在DDS（直接数字频率合成）应用中，CORDIC算法可以代替采样表生成波形数据。为了实现较高的合成频率，流水化是有必要的。

　　关于Verilog实现有几点需要说明的地方，首先利用verilog标准中规定的generate语句，可以实现任意深度流水线的综合；

　　其次在此之前对算法的所有讨论都只涉及第Ⅰ象限，现在加入象限的处理。电路直接取相位输入高2位判断象限，并按函数值在4个象限的符号关系对输出进行处理。

　　完整的Verilog模块如下：该模块通过端口phase_i输入相位。通过sin_o，cos_o输出三角函数值，通过err_o输出迭代引起的相位误差。从流水线为空开始，需等待PIPE_DEPTH+2个时钟周期才能得出结果；而流水线填满后，对于后续相位输入，模块都可以在2个时钟周期内更新输出。

 module cordic_dds # (
    ,               /* Data width */
    ,       /* Pipeline depth */
    'h4dba        /* P = 0.607253 * 2^15 */
 )
 (/*AUTOARG*/
    // Outputs
    sin_o, cos_o, err_o,
    // Inputs
    clk, phase_i
 );

    input             clk;
    :]    phase_i;       /* Phase */
    ]     sin_o, cos_o;  /* Function value output */
    ]     err_o;         /* Phase Error output */

    ] cos_r=, sin_o_r=;
    ] x[PIPE_DEPTH:];
    ] y[PIPE_DEPTH:];
    ] z[PIPE_DEPTH:];

    ] atan_rom[PIPE_DEPTH:];

    :] quadrant [PIPE_DEPTH:];

    integer i;
    initial begin
       ; i<=PIPE_DEPTH; i=i+) begin
          x[i] = ; y[i] = ; z[i] = ;
          quadrant[i] = 'b0;
       end
    end

    initial begin
       atan_rom[] <= ;
       atan_rom[] <= ;
       atan_rom[] <= ;
       atan_rom[] <= ;
       atan_rom[] <= ;
       atan_rom[] <= ;
       atan_rom[] <= ;
       atan_rom[] <= ;
       atan_rom[] <= ;
       atan_rom[] <= ;
       atan_rom[] <= ;
       atan_rom[] <= ;
       atan_rom[] <= ;
       atan_rom[] <= ;
    end

    // ================= //
    // Pipeline stages   //
    // ================= //
    always @ (posedge clk) begin // stage 0
       x[] <= {'b0, limP};
       y[] <= ;
       z[] <= {'b0, phase_i[DW-1-2:0]}; // control the phase_i to the range[0-Pi/2]
    end

    always @ (posedge clk) begin // stage 1
       x[] <= x[] - y[];
       y[] <= x[] + y[];
       z[] <= z[] - atan_rom[]; // reversal 45deg
    end

    generate
       genvar k;
       ; k<PIPE_DEPTH; k=k+) begin
          always @ (posedge clk) begin
             if (z[k][DW]) begin /* the diff is negative on clockwise */
                x[k+] <= x[k] + {{k{y[k][DW]}},y[k][DW:k]}; /* >> k */
                y[k+] <= y[k] - {{k{x[k][DW]}},x[k][DW:k]}; /* >> k */
                z[k+] <= z[k] + atan_rom[k];
             end else begin
                x[k+] <= x[k] - {{k{y[k][DW]}},y[k][DW:k]};
                y[k+] <= y[k] + {{k{x[k][DW]}},x[k][DW:k]};
                z[k+] <= z[k] - atan_rom[k];
             end
          end
       end
    endgenerate

    // ================= //
    // Count quadrant    //
    // ================= //
    always @ (posedge clk) begin
       quadrant[] <= phase_i[DW-:DW-];
    end
    generate
       genvar j;
       ; j<PIPE_DEPTH; j=j+) begin
          always @ (posedge clk) begin
             quadrant[j+] <= quadrant[j];
          end
       end
    endgenerate

    // ================= //
    // Adjust quadrant   //
    // ================= //
    always @ (posedge clk)
       case(quadrant[PIPE_DEPTH])
          'b00: begin
             cos_r <= x[PIPE_DEPTH]; /* cos */
             sin_o_r <= y[PIPE_DEPTH]; /* sin */
          end
          'b01: begin
             cos_r <= ~(y[PIPE_DEPTH]) + 'b1; /* -sin */
             sin_o_r <= x[PIPE_DEPTH]; /* cos */
          end
          'b10: begin
             cos_r <= ~(x[PIPE_DEPTH]) + 'b1; /* -cos */
             sin_o_r <= ~(y[PIPE_DEPTH]) + 'b1; /* -sin */
          end
          'b11: begin
             cos_r <= y[PIPE_DEPTH]; /* sin */
             sin_o_r <= ~(x[PIPE_DEPTH]) + 'b1; /* -cos */
          end
       endcase

    assign cos_o = cos_r;
    assign sin_o = sin_o_r;
    assign err_o = z[PIPE_DEPTH];

 endmodule

　　通过仿真得出波形如下：

　　本文仅对CORDIC算法进行了一些浅显的分析，基本覆盖到了算法的核心思路和简单应用，但从工业应用的角度出发，还有很多值得讨论的问题未在文章中分析。由于笔者时间有限，不能将本文做得非常全面，疏漏之处有待日后逐步完善，还望各位读者海涵。