LOJ#510 北校门外的回忆（找性质+倍增+线段树）

这题一场模拟赛我们出了弱化版（n<=1e6），抄题面给的程序能拿到71分的好成绩
其实后面的29分是加了几个1e9的数据卡人
这糟老头子真是坏得很
正解我们机房看了三天

在这里感谢这篇题解的作者，代码解释得很清晰~

经过打表观察，可以发现：当\(1\le x \le k\)时

如果 \(k\) 为奇数，\(x*2^{y}\) \(mod\) \(k\)的值成环

如果 \(k\) 为偶数，质因数分解\(x\)，如果所含因子\(2\)的次数大于\(k\)所含因子\(2\)的次数，那\(x*2^{y}\) \(mod\) \(k\)的值也成环

然而考试时永远发现不了

于是可以对每条链开一棵动态开点线段树，再开一棵线段树处理不在单点上的点，一起用来模拟题目所给的树状数组（\(N\le10^{9}\)，直接开树状树组会炸）。

于是可以这么做修改操作：

对于不在链上的点，最多只会跳\(log_{2}^{k}*log_{k}^{n}=log_{2}^{n}\)次就会跳到\(n\)之外或跳到链上，暴力更新就完事了。

对于在链上的点，我们可以找到这条链的链头(找链头的方法详见代码)，求出这个点到链头的距离\(dis\)，区间更新\(dis\)和链尾之间的点。

查询也差不多的。

更详细的解释见代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define N 200010
using namespace std;
int k;
inline void rd(int &x){
    int y=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0' || c>'9' ){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0' && c<='9')y=y*10+(c^48),c=getchar();
    x=y*f;
}
int num[N],jw[N],go[N][20],to[N][20],pr[N],a[N],fr,dis,u;
bool vis[N];
inline int lowbit(int x){
    while(x%k==0) x/=k;
    return x%k;
}
inline int lowbitv(int x){
    register int lg=0;
    while (x%k==0) x/=k,lg++;
    x%=k;
    while (lg) x*=k,lg--;
    return x;
}
void init()//预处理
{
    //jw[i]:i所在链上的进位次数
    register int cnt,i,j,w,l;
    for(i=1;i<=k;++i) for(j=i;j%2==0;j/=2,++pr[i]);
    for(i=1;i<k;++i){
        cnt=w=0;
        if(vis[i] || pr[i]<pr[k]) continue;
        int x=i*2%k;a[++cnt]=i,vis[i]=1;
        while(x!=i) a[++cnt]=x,vis[x]=1,x=x*2%k;
        for(j=1;j<=cnt;++j) w+=(a[j]*2>=k);
        for(j=1;j<=cnt;++j){
            jw[a[j]]=w,num[a[j]]=cnt;
            (j==1)?x=cnt:x=j-1;
            to[a[j]][0]=a[x];
            go[a[j]][0]=(a[x]*2>=k);
        }
        //to[i][j]:i向前跳j步跳到的点
        //go[i][j]:i向前跳j步的进位次数
        for(j=1;j<=18;++j)
            for(l=1;l<=cnt;++l){
                to[a[l]][j]=to[to[a[l]][j-1] ][j-1];
                go[a[l]][j]=go[a[l]][j-1]+go[to[a[l]][j-1] ][j-1];
            }
    }
}
void GetF(int x)//求链头
{
    int lg=0;
    while(x%k==0) x/=k,lg++;
    fr=lowbit(x),dis=1;int u=(x-fr)/k,i;//u:x的进位次数
    //dis=跳的环数*环的长度+剩余长度（没跳完整个环）
    dis+=u/jw[fr]*num[fr];
    u%=jw[fr];
    for(i=18;i>=0;--i){
        if(go[fr][i]<=u){
            u-=go[fr][i];
            dis+=(1<<i);
            fr=to[fr][i];
        }
    }
    while(lg) fr*=k,lg--;//由lowbit(x)的链头还原回去x的链头
}
#define mid ((l+r)>>1)
int root1,root2,root3;
struct tr{ int ls,rs,x; };
struct qwq{
    tr t[N*60];
    int sz=0;
    void update(int &o,int l,int r,int L,int R,int v){
        if(!o) o=++sz;
        if(L<=l && r<=R){
            t[o].x^=v;
            return;
        }
        if(L<=mid) update(t[o].ls,l,mid,L,R,v);
        if(R>mid) update(t[o].rs,mid+1,r,L,R,v);
    }
    int query(int o,int l,int r,int x){
        if(l==r || !o) return t[o].x;
        if(x<=mid) return t[o].x^query(t[o].ls,l,mid,x);//不用pushup的原因（异或只用异或一遍）
        else return t[o].x^query(t[o].rs,mid+1,r,x);
    }
} Point,Chain,Front;
//Point:不在链上的点
//Chain:链上的点的更新（以链头的点值为根）
//Front:链头在Chain上的位置
int main()
{
    int n,q,op,x,v,ans;
    rd(n),rd(q),rd(k);
    init();
    while(q--){
        rd(op),rd(x);
        if(op==1){
            rd(v);
            while(x<=n && pr[lowbit(x)]<pr[k]){
                Point.update(root2,1,n,x,x,v);
                x+=lowbitv(x);
            } //暴力跳
            if(x>n) continue;
            GetF(x);
            root1=Front.query(root3,1,n,fr);
            int tmp=root1;Chain.update(root1,1,n,dis,n,v);
            //Chain相当于重构了编号,比如说链头为x,则线段树里编号为2的元素实际上是原树状数组编号为x+lowbit(x)的元素
            if(!tmp) Front.update(root3,1,n,fr,fr,root1);
        } else{
            ans=0;
            while(x){
                if(pr[lowbit(x)]<pr[k]) ans^=Point.query(root2,1,n,x);
                else{
                    GetF(x);
                    root1=Front.query(root3,1,n,fr);
                    if(root1) ans^=Chain.query(root1,1,n,dis);
                }
                x-=lowbitv(x);
            }
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
}