Codeforces300 F. A Heap of Heaps

出处： Codeforces

主要算法：树状数组/线段树

难度：4.6

思路分析：

在没看到数据范围之前真是喜出望外，直到发现O(n^2)会被卡……

　　其实也不是特别难的

　　我们要做的事情就是对于每一个节点v，求出当k分别取$1,2,3,...,n$时比v的权值小的v的儿子数量。既然要求每个节点的，那n自然是要扫的。那有没有能够在O(log n)复杂度内求出权值小于v的节点数量的方法呢？这自然让我们联想到了O(log n)的数据结构——树状数组或者线段树。

　　数组a[i]保存节点的信息。a[i].x表示权值，a[i].idx表示编号（位置）。首先将数组a按照x从小到大进行排序，并在处理好每一个节点后用树状数组更新bit[a[i].idx]，让它+1。bit[i]维护的其实就是位置i是否被更新过。那么设想一下，因为a数组是按照权值进行排序的，所以已经被更新过的点的权值一定<=a[i]。因此我们可以查询区间[left,right]（表示节点v的子节点的位置的左右位置的最值），得到的答案就是小于节点v权值的子节点的数量。而由于此序列是一定的，无论k怎么变，只需要改变一下left和right就可以得到不同的堆的答案了。所以我们进行如下操作：

　　$ans[k] += Query(right) - Query(left-1);$

　　我想意义已经很清楚了。

　　最后有一个复杂度的计算问题：我在外层扫描了节点i，内层扫描了堆的叉数k，又做了bit，为什么复杂度会是$O(n log n)$？不应该是$O(n^2 log n)$吗？但是总共就n个节点，并且k越大叶子就越多，所以到后来几乎一进循环就会跳出。所以复杂度就等同于$O(n)$了

代码注意点：

　　排序改成双关键字。因为要先更新父亲，再更新儿子。不然与父亲节点权值相同的儿子会被算为违反的。

Code

/*By QiXingzhi*/

#include <cstdio>

#include <queue>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#define  r  read()

#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))

#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = ;

const int INF = ;

inline int read(){

    int x = ; int w = ; register int c = getchar();

    while(c ^ '-' && (c < '' || c > '')) c = getchar();

    if(c == '-') w = -, c = getchar();

    while(c >= '' && c <= '') x = (x << ) +(x << ) + c - '', c = getchar();

    return x * w;

}

struct Number{

    int x,idx;

}a[N];

int n,m,left,right;

int bit[N],ans[N];

inline bool comp(Number& a, Number& b){

    if(a.x == b.x) return a.idx < b.idx;

    return a.x < b.x;

}

inline int GetLeft(int v, int k){

    return (k * (v-) + );

}

inline int GetRight(int v, int k){

    return ((k * v) + );

}

inline int Query(int x){

    int i = x;

    int res = ;

    while(i > ){

        res += bit[i];

        i -= i & (-i);

    }

    return res;

}

inline void Update(int x, int k){

    int i = x;

    while(i <= N){

        bit[i] += k;

        i += i & (-i);

    }

}

int main(){

    n = r;

    for(int i = ; i <= n; ++i){

        a[i].x = r;

        a[i].idx = i;

    }

    sort(a+,a+n+,comp);

    for(int i = ; i <= n; ++i){

        for(int k = ; k < n; ++k){

            left = GetLeft(a[i].idx,k);

            right = GetRight(a[i].idx,k);

            if(left > n) break;

            if(right > n) right = n;

            ans[k] += Query(right) - Query(left-);

        }

        Update(a[i].idx, );

    }

    for(int i = ; i < n; ++i){

        printf("%d ", ans[i]);

    }

    return ;

}