Codeforces 886E Maximum Element 组合数学 + dp
我们定义dp[ i ]表示长度为 i 的序列, 最后没有一个==k的时候返回的方案数, 也就是最后强制返回 i 的方案数。
我们能得到dp方程 dp[ i ] = sum(dp[ i - j - 1 ] * comb(i - 1, j) * F[ j ]) 0 <= j <= k - 1,
然后会发现这个东西不好转移, 我们可以把comb(i - 1, j) * F[ j ] 这个东西合并一下变成 F(i - 1) / F(i - 1 - j)
然后就变成 dp[ i ] = F(i - 1) * sum(dp[ i - j - 1] / F(i - j - 1)) 0 <= j <= k - 1, 然后这个东西存个前缀和就好啦。
有了dp数组之后, 我们就算出最后答案等于 n 的方案数, 从总方案数里面减去就好啦。
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
#define PLL pair<LL, LL>
#define PLI pair<LL, int>
#define PII pair<int, int>
#define SZ(x) ((int)x.size())
#define ull unsigned long long using namespace std; const int N = 1e6 + ;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod = ;
const double eps = 1e-;
const double PI = acos(-); void add(int &a, int b) {
a += b; if(a >= mod) a -= mod;
} int Power(int a, int b) {
int ans = ;
while(b) {
if(b & ) ans = 1LL * ans * a % mod;
a = 1ll * a * a % mod; b >>= ;
}
return ans;
} int n, k, way, dp[N], prefix[N];
int F[N], Finv[N], inv[N], tmp, ans; int comb(int n, int m) {
if(n < m || n < ) return ;
return 1ll * F[n] * Finv[m] % mod * Finv[n - m] % mod;
} int main() {
inv[] = F[] = Finv[] = ;
for(int i = ; i < N; i++) inv[i] = 1ll * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
for(int i = ; i < N; i++) F[i] = 1ll * F[i - ] * i % mod;
for(int i = ; i < N; i++) Finv[i] = 1ll * Finv[i - ] * inv[i] % mod;
scanf("%d%d", &n, &k);
for(int i = ; i <= k; i++) {
dp[i] = F[i];
prefix[i] = (prefix[i - ] + 1ll * dp[i] * Finv[i] % mod) % mod;
}for(int i = k + ; i <= n; i++) {
dp[i] = (prefix[i - ] - prefix[i - k - ] + mod) % mod;
dp[i] = 1ll * dp[i] * F[i - ] % mod;
prefix[i] = (prefix[i - ] + 1ll * dp[i] * Finv[i] % mod) % mod;
}
ans = F[n];
add(ans, mod - dp[n]);
for(int i = ; i <= n - k; i++) {
add(ans, mod - (1ll * comb(n - , i - ) * dp[i - ] % mod * F[n - i] % mod));
}
printf("%d\n", ans);
return ;
} /*
*/
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