(上不了p站我要死了,侵权度娘背锅)

Description

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E 
心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人 
,其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方案被认为是不同的,当且仅当存在某 
个人在这两种方案中收到的礼物不同)。由于方案数可能会很大,你只需要输出模P后的结果。

Input

输入的第一行包含一个正整数P,表示模; 
第二行包含两个整整数n和m,分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数; 
以下m行每行仅包含一个正整数wi,表示小E要送给第i个人的礼物数量。

Output

若不存在可行方案,则输出“Impossible”,否则输出一个整数,表示模P后的方案数。

Sample Input

100 
4 2 

2

Sample Output

12 
【样例说明】 
下面是对样例1的说明。 
以“/”分割,“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下: 
1/23 1/24 1/34 
2/13 2/14 2/34 
3/12 3/14 3/24 
4/12 4/13 4/23 
【数据规模和约定】 
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct,pi为质数。 
对于100%的数据,1≤n≤109,1≤m≤5,1≤pi^ci≤10^5。


公式是很好想的,设sum=sigma(wi),则答案为C(n,sum) * C(sum,w1) * C(sum-w1,w2) * … * C(wi,wi)

但是考虑到数据范围,需要用Lucas定理,但是模数确实一个合数,怎么办呢?于是就去学了拓展Lucas定理。

1、 
模数为合数,但可以唯一分解成多个质数的乘积。即M=p1^c1 * p2^c2 * … * pi^ci。分解出来的pi^ci与其他的因数互质,所以可以对每一个pi^ci求出组合数的值,再用孙子定理合并。

2、 
现在问题转化为了如何求解C(n,m) mod pi^ci 
首先C(n,m)可以写成阶乘形式:n!/(m!*(n-m)!) mod pi^ci 
我们发现如果阶乘n!中的n大于pi^ci的话,模下来就是0,没有意义了。所以不能直接用阶乘+逆元来求解。考虑如果能将n!中的所有pi提出来,即将n!分解为 x*pi^ki,这样x部分就和pi^ci完全互质,就可以用逆元来求了。

3、 
问题再转化,如何将 n! 分解为 x * pi^ki,即求出x与ki 
举个例子:20! mod 3^2 
20!=1*2*3*4*…*19*20 
将3的倍数提取出来 
= 1*2*4*…* 17*19*20*(3*6*9..*18) 
=1*2*4*… * 17*19*20* 3^6 * (1*2*3..*6) 
发现括号里的数又是阶乘,且恰好是[n/p](向下取整),所以递归调用即可。 
对于前面的数:发现是以pi^ci为循环节同余的方程,即(1*2*…pi^ci-1)≡((pi^ci +1)*…(2*pi^ci)) (mod pi^ci),其中要去掉pi的倍数。这一部分就暴力算出循环节,快速幂。对于循环节之外可能有的数,也是直接暴力算即可。易证循环节长度和剩余部分长度是小于等于pi^ci的。

 void get(ll a,ll i,ll &x,ll &k){
ll tmp=;
if(a==) return ;
for(int j=;j<=min(pic[i],a);j++){
if(j%pi[i]==) continue;
tmp=tmp*j%pic[i];
}
x=x*power(tmp,a/pic[i],pic[i])%pic[i];
for(int j=pic[i]*(a/pic[i])+;j<=a;j++){
if(j%pi[i]==) continue;
x=x*j%pic[i];
}
k+=a/pi[i];
get(a/pi[i],i,x,k);
}

所以现在问题就很清晰啦 
拓展Lucas也没有想象中这么难嘛

 #include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#ifdef WIN32
#define RIN "%I64d"
#else
#define RIN "%lld"
#endif template <typename T>inline void read(T &res){
T k=,x=;char ch=;
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')k=-;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<=''){x=(x<<)+(x<<)+ch-'';ch=getchar();}
res=k*x;
} const int N=+; ll p,n,m,w[],sum=;
ll prime[N],cntp=;
bool notp[N];
ll pi[N],pic[N],pik[N],cntc=; void init(){
notp[]=;
for(int i=;i<=;i++){
if(!notp[i])
prime[++cntp]=i;
for(int j=;j<=cntp&&i*prime[j]<=;j++){
notp[i*prime[j]]=;
if(i%prime[j]==) break;
}
}
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==){
x=,y=;return;
}
ll x0,y0;
exgcd(b,a%b,x0,y0);
x=y0;
y=x0-(a/b)*y0;
}
ll inverse(ll a,ll mod){
ll x,y;
exgcd(a,mod,x,y);
return (x%mod+mod)%mod;
}
ll power(ll a,ll b,ll mod){
ll rt=;
for(;b;b>>=,a=a*a%mod) if(b&) rt=rt*a%mod;
return rt;
}
void get(ll a,ll i,ll &x,ll &k){
ll tmp=;
if(a==) return ;
for(int j=;j<=min(pic[i],a);j++){
if(j%pi[i]==) continue;
tmp=tmp*j%pic[i];
}
x=x*power(tmp,a/pic[i],pic[i])%pic[i];
for(int j=pic[i]*(a/pic[i])+;j<=a;j++){
if(j%pi[i]==) continue;
x=x*j%pic[i];
}
k+=a/pi[i];
get(a/pi[i],i,x,k);
}
ll get_C(ll x,ll y,ll i){
ll x1=,p1=,x2=,p2=,x3=,p3=;
get(x,i,x1,p1);
get(y,i,x2,p2);
get(x-y,i,x3,p3);
ll rt=;
rt=x1*inverse(x2,pic[i])%pic[i]*inverse(x3,pic[i])%pic[i];
rt=rt*power(pi[i],p1-p2-p3,pic[i])%pic[i];
return rt;
}
ll C(ll x,ll y){
ll a;
ll rt=;
for(int i=;i<=cntc;i++){
a=get_C(x,y,i);
rt=(rt+a*(p/pic[i])%p*inverse(p/pic[i],pic[i])%p)%p;
}
return rt;
}
void fenjie_p(){
ll tmp=p;
for(int i=;i<=cntp&&tmp!=;i++){
if(tmp%prime[i]!=) continue;
pi[++cntc]=prime[i];
pic[cntc]=,pik[cntc]=;
while(tmp%prime[i]==){
pic[cntc]*=prime[i];
pik[cntc]++;
tmp/=prime[i];
}
}
}
int main(){
init();
read(p),read(n),read(m);
for(int i=;i<=m;i++) read(w[i]),sum+=w[i];
if(sum>n){
printf("Impossible\n");
return ;
}
ll ans=;
fenjie_p();
ans=ans*C(n,sum)%p;
for(int i=;i<=m;i++){
ans=ans*C(sum,w[i])%p;
sum-=w[i];
}
printf(RIN"\n",ans);
return ;
}

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