[POJ2406&POJ1961]用KMP解决字符串的循环问题两例

翻阅了一下网上资料，发现大部分都说这题是找规律...或是说YY出的一个算法..不会证明...

然后就脑补了一下证明 ~

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结论：对于一个字符串S[1..N],如果N mod (N-next[N])=0 则存在循环并且长度为N-next[N]的循环。

脑补的证明：

      首先必要性很显然，如果N mod (N-next[N])<>0显然不存在循环。

                  

　　如图红色区域为N-next[N]长度的字符串。根据KMP造出的next数据的性质，S[1..next[n]]=s[n-next[n]+1..n]，其长度相同的后缀也相同，即橙色区域与红色区域相同。把黄色区域+橙色区域看成一块，横色区域+红色区域看成一块，也为长度相同的后缀，于是黄色区域+橙色区域=橙色区域+红色区域，黄色区域=橙色区域=红色区域……依次类推，可证明所有的长度为n-next[n]的区域都同构。

 

　　附上萌萌哒代码

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　　另外有一道加强版的题目，POJ1961.问字符串每个前缀的循环。

　　第一眼看起来感觉复杂度会乘上n，实际上不然，我们之前预处理出next数组的时间复杂度是O（n）,然而对于询问是O（1）回答的。

　　我们发现之前预处理出来的数组对前缀求循环完全有用，所以这道题无非是回答n遍。写起来由于求出来的东西充分展现了利用价值反而更爽了。