ACM-ICPC (10/11)
莫比乌斯
今年的多校比赛,莫比乌斯反演的题目经常出现,但是我们队对于这种题可以说是直接放掉,不是因为没学过,多少了解一些,但是也只是皮毛,导致根本就做不出来,其实想一想,其实次数多了,就可以看出原因了,没有过总结,没有过思考,昨天心血来潮,好好的看了一下莫比乌斯反演,有一点感悟!
什么是莫比乌斯反演
...
可以通过 反向推导出
...
公式:
其中 即为莫比乌斯函数。
也可以如下定义:
分解质因数,无不相同,则
其他为0
性质:积性函数
莫比乌斯(容斥的优化)——我的理解
怎么求莫比乌斯函数?
类似于筛素数的方案,O(nlogn),一般足够了。
级别,无法预处理出1~n的莫比乌斯表,利用因式分解,讨论因子的拿法(类似压状),O(sqrt(n))
栗子:
//求莫比乌斯函数 O(nlogn)
void getMu() {
for(int i = 1; i < maxn; i++) {
int target = i == 1 ? 1 : 0;
int delta = target - mu[i];
mu[i] = delta;
for(int j = i + i ; j < maxn; j+=i)
mu[j] +=delta;
}
}
// n 的 约数的莫比乌斯函数值map形式返回 O(sqrt(n))
map<int,int> moebius(int n) {
map<int,int> res;
vector<int> primes;
//枚举n的质数
for(int i = 2; i*i <= n; i++) {
if(n%i==0) {
primes.push_back(i);
while(n%i==0) n/=i;
}
}
if(n!=1) primes.push_back(n);
int m = primes.size();
//不超过n的约数个数 次
for(int i = 0; i < (1<<m); i++) {
int mu = 1,d = 1;
for(int j = 0; j < m; j++) {
if(i>>j&1) {
mu*=-1;
d*=primes[j];
}
}
res[d] = mu;
}
return res;
}
例题一:
分析:总共26^n,根据容斥,枚举最短循环节d,减去26^d,根据莫比乌斯函数来容斥优化。注意数据范围极大!
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
// n 的 约数的莫比乌斯函数值map形式返回 O(sqrt(n))
map<int,int> moebius(int n) {
map<int,int> res;
vector<int> primes;
//枚举n的质数
for(int i = 2; i*i <= n; i++) {
if(n%i==0) {
primes.push_back(i);
while(n%i==0) n/=i;
}
}
if(n!=1) primes.push_back(n);
int m = primes.size();
//不超过n的约数个数 次
for(int i = 0; i < (1<<m); i++) {
int mu = 1,d = 1;
for(int j = 0; j < m; j++) {
if(i>>j&1) {
mu*=-1;
d*=primes[j];
}
}
res[d] = mu;
}
return res;
}
const int MOD = 10009;
int n;
//快速幂取模 a^b % mod;
ll pow_mod(ll a,ll b) {
if(b==0) return 1%MOD;
int temp = pow_mod(a,b>>1);
temp = temp*temp%MOD; if(b&1) temp = (ll)temp*a%MOD; return temp;}void solve() { ll res = 0; map<int,int> mu = moebius(n); for(auto it = mu.begin(); it != mu.end(); it++) { //printf("%d %d\n",it->first,it->second); res += (ll)it->second*pow_mod(26,n/it->first); res = (res%MOD + MOD) % MOD; } printf("%I64d\n",res);}int main(){ scanf("%d",&n); solve(); return 0;}
例题二:
分析:
注意:(1,3),(3,1)相同。
先考虑不同的情况:
即:两个区间内互质的对数,同理:总共 对,减去不符合情况的对数,枚举gcd,就有 * 对,然后用莫比乌斯来容斥。
怎么解决(1,3)(3,1)相同的情况呢?
还是容斥!!!
减去较小区间做一遍上述操作的一半。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1<<20;
int mu[maxn];
//求莫比乌斯函数
void getMu() {
for(int i = 1; i < maxn; i++) {
int target = i == 1 ? 1 : 0;
int delta = target - mu[i];
mu[i] = delta;
for(int j = i + i ; j < maxn; j+=i)
mu[j] +=delta;
}
}
int main()
{
getMu();
int T;
scanf("%d",&T);
for(int z = 1; z <= T; z++) {
int a,b,c,d,k;
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
if(k==0) {
puts("0");
continue;
}
b/=k;
d/=k;
if(b>d) swap(b,d); //b小
long long ans1 = 0;
for(int i = 1; i <= b; i++)
ans1 += (long long)mu[i]*(b/i)*(d/i);
long long ans2 = 0;
for(int i = 1; i <= b; i++) ans2 += (long long)mu[i]*(b/i)*(b/i); ans1 -= ans2/2; printf("%I64d\n",ans1); } return 0;}
例题三:
题意:给定一个正方体的区间,从坐标(0,0,0)处可以看到多少个整点?
分析:(1,1,1) 能看到,但是(2,2,2)就三点共线挡住了,同理(2,3,4)能看到,但是(4,6,8)就看不到了,可以看出就是 的点,被除以gcd的点挡住了。也就是求 (x,y,z)互质的点对,就是上一题加一维。
值得注意的是区间是[1,n],整个坐标系可以x = 0等,x等于0,相当于一个平面,减一围。
还有3个坐标轴上的点。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1<<20;
int mu[maxn];
//求莫比乌斯函数
void getMu() {
for(int i = 1; i < maxn; i++) {
int target = i == 1 ? 1 : 0;
int delta = target - mu[i];
mu[i] = delta;
for(int j = i + i ; j < maxn; j+=i)
mu[j] +=delta;
}
}
typedef long long ll;
int main()
{
getMu();
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--) {
int n;
scanf("%d",&n);
ll ans = 3;
for(int i = 1; i <= n; i++)
ans+= (ll)mu[i]*(n/i)*(n/i)*(n/i+3);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
到此,你就已经入门莫比乌斯了~~~
TreeDream
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