莫比乌斯

今年的多校比赛,莫比乌斯反演的题目经常出现,但是我们队对于这种题可以说是直接放掉,不是因为没学过,多少了解一些,但是也只是皮毛,导致根本就做不出来,其实想一想,其实次数多了,就可以看出原因了,没有过总结,没有过思考,昨天心血来潮,好好的看了一下莫比乌斯反演,有一点感悟!

  • 什么是莫比乌斯反演

...

可以通过​ 反向推导出 ​

...

公式:

其中 即为莫比乌斯函数。

也可以如下定义:

  • 分解质因数,无不相同,则

  • 其他为0

性质:积性函数

莫比乌斯(容斥的优化)——我的理解

怎么求莫比乌斯函数?

  • 类似于筛素数的方案,O(nlogn),一般足够了。

  • 级别,无法预处理出1~n的莫比乌斯表,利用因式分解,讨论因子的拿法(类似压状),O(sqrt(n))

栗子:

//求莫比乌斯函数 O(nlogn)
void getMu() {
   for(int i = 1; i < maxn; i++) {
       int target = i == 1 ? 1 : 0;
       int delta = target - mu[i];
       mu[i] = delta;

       for(int j = i + i ; j < maxn; j+=i)
           mu[j] +=delta;
  }
}
// n 的 约数的莫比乌斯函数值map形式返回 O(sqrt(n))
map<int,int> moebius(int n) {
   map<int,int> res;
   vector<int> primes;

   //枚举n的质数
   for(int i = 2; i*i <= n; i++) {
       if(n%i==0) {
           primes.push_back(i);
           while(n%i==0) n/=i;
      }
  }
   if(n!=1) primes.push_back(n);

   int m = primes.size();
   //不超过n的约数个数 次
   for(int i = 0; i < (1<<m); i++) {
       int mu = 1,d = 1;
       for(int j = 0; j < m; j++) {
           if(i>>j&1) {
               mu*=-1;
               d*=primes[j];
          }
      }
       res[d] = mu;
  }
   return res;
}

例题一:

分析:总共26^n,根据容斥,枚举最短循环节d,减去26^d,根据莫比乌斯函数来容斥优化。注意数据范围极大!

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

// n 的 约数的莫比乌斯函数值map形式返回 O(sqrt(n))
map<int,int> moebius(int n) {
   map<int,int> res;
   vector<int> primes;

   //枚举n的质数
   for(int i = 2; i*i <= n; i++) {
       if(n%i==0) {
           primes.push_back(i);
           while(n%i==0) n/=i;
      }
  }
   if(n!=1) primes.push_back(n);

   int m = primes.size();
   //不超过n的约数个数 次
   for(int i = 0; i < (1<<m); i++) {
       int mu = 1,d = 1;
       for(int j = 0; j < m; j++) {
           if(i>>j&1) {
               mu*=-1;
               d*=primes[j];
          }
      }
       res[d] = mu;
  }
   return res;
}

const int MOD = 10009;

int n;

//快速幂取模 a^b % mod;
ll pow_mod(ll a,ll b) {
   if(b==0) return 1%MOD;
   int temp = pow_mod(a,b>>1);

   temp = temp*temp%MOD;    if(b&1) temp = (ll)temp*a%MOD;    return temp;}​void solve() {    ll res = 0;    map<int,int> mu = moebius(n);    for(auto it = mu.begin(); it != mu.end(); it++) {        //printf("%d %d\n",it->first,it->second);        res += (ll)it->second*pow_mod(26,n/it->first);        res = (res%MOD + MOD) % MOD;   }    printf("%I64d\n",res);}​int main(){    scanf("%d",&n);    solve();    return 0;}

例题二:

分析:

注意:(1,3),(3,1)相同。

先考虑不同的情况:

即:两个区间内互质的对数,同理:总共 对,减去不符合情况的对数,枚举gcd,就有 * 对,然后用莫比乌斯来容斥。

怎么解决(1,3)(3,1)相同的情况呢?

还是容斥!!!

减去较小区间做一遍上述操作的一半。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 1<<20;
int mu[maxn];


//求莫比乌斯函数
void getMu() {
   for(int i = 1; i < maxn; i++) {
       int target = i == 1 ? 1 : 0;
       int delta = target - mu[i];
       mu[i] = delta;

       for(int j = i + i ; j < maxn; j+=i)
           mu[j] +=delta;
  }
}

int main()
{
   getMu();

   int T;
   scanf("%d",&T);
   for(int z = 1; z <= T; z++) {
       int a,b,c,d,k;
       scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
       if(k==0) {
           puts("0");
           continue;
      }
       b/=k;
       d/=k;
       if(b>d) swap(b,d);  //b小
       long long ans1 = 0;
       for(int i = 1; i <= b; i++)
           ans1 += (long long)mu[i]*(b/i)*(d/i);

       long long ans2 = 0;
       for(int i = 1; i <= b; i++)            ans2 += (long long)mu[i]*(b/i)*(b/i);        ans1 -= ans2/2;        printf("%I64d\n",ans1);   }​​    return 0;}

例题三:

题意:给定一个正方体的区间,从坐标(0,0,0)处可以看到多少个整点?

分析:(1,1,1) 能看到,但是(2,2,2)就三点共线挡住了,同理(2,3,4)能看到,但是(4,6,8)就看不到了,可以看出就是 的点,被除以gcd的点挡住了。也就是求 (x,y,z)互质的点对,就是上一题加一维。

值得注意的是区间是[1,n],整个坐标系可以x = 0等,x等于0,相当于一个平面,减一围。

还有3个坐标轴上的点。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 1<<20;
int mu[maxn];


//求莫比乌斯函数
void getMu() {
   for(int i = 1; i < maxn; i++) {
       int target = i == 1 ? 1 : 0;
       int delta = target - mu[i];
       mu[i] = delta;

       for(int j = i + i ; j < maxn; j+=i)
           mu[j] +=delta;
  }
}

typedef long long ll;

int main()
{
   getMu();

   int t;
   scanf("%d",&t);
   while(t--) {
       int n;
       scanf("%d",&n);

       ll ans = 3;
       for(int i = 1; i <= n; i++)
           ans+= (ll)mu[i]*(n/i)*(n/i)*(n/i+3);
       printf("%lld\n",ans);


  }
   return 0;
}

到此,你就已经入门莫比乌斯了~~~

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