FWT快速沃尔什变换——基于朴素数学原理的卷积算法

这是我的第一篇学习笔记，如有差错，请海涵...

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目录

引子

卷积形式

算法流程

OR卷积

AND卷积

XOR卷积

模板

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引子

首先，考虑这是兔子

数一数，会发现你有一只兔子，现在，我再给你一只兔子

再数一数，会发现什么？没错，你有两只兔子，也就是说，1+1=2！

这就是算数的基本原理了，聪明的你懂了吗？

好，我们可以学FWT了..

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卷积形式

我们回忆一下多项式乘法的式子：

这个可以用FFT或NTT优化到O(nlogn)求出每一个Ci，但不是本章的重点，只是引出卷积的概念：

而FWT主要是解决以下三种卷积形式：

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算法流程

卷积的算法原理就是把一个数列快速转换成另一种数列，然后每一位元素之间就可以直接单独相乘计算，最后再把答案数列快速转换回来。

FFT体现这个原理的方式就是把多项式转换成点值表达式，然后由于每个点的横坐标相同，纵坐标直接乘起来就得到最终的点值表达式，最后把答案的多项式表达通过点值表达式解出来。

那FWT怎么做呢？

首先就是数列长度的问题，我们知道，多项式乘法最终会得到一个长为lenA+lenB-1的多项式，而考虑位运算的卷积——很容易想出，最终的数列长度一定是，n是A、B大小转换为二进制后的数的最大位数。

我们设数列A的转换数列是DWT(A)，转换后的数列A的原数列是IDWT(A)

既然它是位运算，那么我们就按位分治

我们从二进制最高位考虑起，每次把当前位为0或1的元素分开成两个数列，很显然，由于数列长度为，直接每次从中间分开就好了，

那么

这里的“{  ,  }”是把两个数列前后拼一起，A+B是把两个数列排头对齐，然后每一位相加。

具体的系数a,b,c,d是怎么样，or , and 和 xor 的情况是不一样的。

OR卷积

因为是按位或，所以当前位为1的对0没有影响，而0的元素都要对1有影响（0可以 | 1变成1，但是1怎么 | 都不会变成0），于是它的DWT就是这样

这样DWT(A)[i]就相当于下标按位或 i 后等于 i 的元素和，转换回去刚好就把当前位为1的减去为0的就行，即

这就是DWT的逆运算形式吧。

ps：巧合的是，这个玩意其实也是快速莫比乌斯变换FMT，两个是一样的，完全没有区别，也就是说DWT(A)[i]其实也是i的所有子集元素和。

举个栗子

,

解决了！

AND卷积

和or很相像

因为是按位与，所以当前位为0的对1没有影响，而1的元素都要对0有影响（1可以&0变成0，但是0怎么&都不会变成1），于是它的DWT就是这样

这样DWT(A)[i]就相当于下标按位与 i 后等于 i 的元素和，转换回去刚好就把当前位为0的减去为1的就行，即

这又刚好是DWT的逆运算了。

再举个栗子

,

XOR卷积

这个就比较特殊了

我们从栗子里会发现，对于异或，我们最后其实要把 a0b0+a1b1 和 a1b0+a0b1 单独刨出来。（这不是废话！）

那么在DWT(C)中，a0b0的系数要和a1b1一样，a1b0的系数要和a0b1一样

……

于是它的DWT就是这样！：

这样DWT(C)就符合条件了，它的IDWT是

这个得看栗子才明白

,

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模板

下面是非递归版本的DWT以及IDWT，m为数列长度（）

inline void DWTOR(int *s,int m) {
	for(int k = m;k > 1;k >>= 1) {
		for(int i = 0;i < m;i += k) {
			for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
				int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
				s[j] = qm((s0 +0ll+ s1) , zxy);
			}
		}
	}
	return ;
}
inline void IDWTOR(int *s,int m) {
	for(int k = 2;k <= m;k <<= 1) {
		for(int i = 0;i < m;i += k) {
			for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
				int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
				s[j] = qm((s1 +0ll+ zxy - s0) , zxy);
			}
		}
	}
	return ;
}

inline void DWTAND(int *s,int m) {
	for(int k = m;k > 1;k >>= 1) {
		for(int i = 0;i < m;i += k) {
			for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
				LL s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
				s[j-(k>>1)] = qm((s0 +0ll+ s1) , zxy);
			}
		}
	}
	return ;
}
inline void IDWTAND(int *s,int m) {
	for(int k = 2;k <= m;k <<= 1) {
		for(int i = 0;i < m;i += k) {
			for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
				int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
				s[j-(k>>1)] = qm((s0 +0ll+ zxy - s1) , zxy);
			}
		}
	}
	return ;
}

inline void DWTXOR(int *s,int m) {
	for(int k = m;k > 1;k >>= 1) {
		for(int i = 0;i < m;i += k) {
			for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
				int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
				s[j] = qm((s0 +0ll+ zxy - s1) , zxy);
				s[j-(k>>1)] = qm((s0 +0ll+ s1) , zxy);
			}
		}
	}
	return ;
}
inline void IDWTXOR(int *s,int m) {
	for(int k = 2;k <= m;k <<= 1) {
		for(int i = 0;i < m;i += k) {
			for(int j = i+(k>>1);j < i+k;j ++) {
				int s0 = s[j-(k>>1)],s1 = s[j];
				s[j-(k>>1)] = qm((s0 +0ll+ s1) , zxy) *1ll* inv2 % zxy;
				s[j] = qm((s0 +0ll+ zxy - s1) , zxy) *1ll* inv2 % zxy;
			}
		}
	}
	return ;
}

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FWT就到这里了，大家都懂了吧