K小割

题目链接：WC2015 K小割

Description

题目很清楚了，已经不能说的更简洁了……

Solution

这道题出题人挺毒的，你需要针对不同的部分分施用不同的做法 。

  • 第\(1\)部分：暴力枚举每条边是否割掉，并保留所有合法的割，更新答案，最后\(sort\)一下（从小到大），输出即可。

    复杂度\(O(2^m\times n)\)，可以规避\(K\)过大的限制。
  • 第\(2\)部分：采用优先队列。

    对于除\(s,t\)外的每个点都分别有且仅有一条边与\(s,t\)相连。那么对于每一个点都必须至少割掉其中的一条边。设两条边的权值为\(a,b (a<b)\)，那么对于每个点的选择有\(\{a,b,a+b\}\) 三种，我们可以通过对于每个点选择的升级/降级，来达到不同的状态。

    我们将点以\((b-a)\)为第一关键字（从第一级升到第二级的代价），\(a\)为第二关键字排序（从第二级升到第三级的代价）。

    对于每个状态我们有三种选择

    （1）将当前点的状态升级

    （2）当前点保持不变，将该点的后一个点升级，并将当前点改为他后面的点。

    （3）将当前点降级，将该点的后一个点升级，并将当前点改为他后面的点（需要注意的是在降级的时候只能是从\(b->a\)，不能是从\(a+b->b\)，否则会出现重复的状态，因为\(a+b->b\)的改变其实可以转化成选择（2））

    总之在更新状态的时候需要时刻注意，不要更新到之前已经得到的状态，如果开始后一个点的升级，那么当前点就不能再改变了。
  • 第\(3\)部分：采用最小割。

    我们可以先跑最大流，求出最小割。

    然后，我们可以按如下方式求出次小割：

    \((1)\) 强制割集中的某条边不选，然后求此时的最小割；

    \((2)\) 选择不再割集中的某条边，然后割掉。

    对于第（2）种产生方式，必然是选择不在割集中的边权最小的边来更新答案。那么我们如何确定割集呢？从s开始走剩余流量不为0的边，将所有能遍历到的点打访问标记，如果一条边的两个端点x[i]有标记，y[i]没有标记，那么该边在最小割的割集中。

    第一种情况，对于每一条边来说，如果这条边不割，那么\(s->x[i]，y[i]->t\)都其中一个必须不连通，我们可以在做完最小割的残量网络上对于\(s->x[i],y[i]->t\)分别求最小割，然后从中选取较小的更新答案。

    处理完\((1)(2)\)两种产生方式后，得到的答案就是针对当前割集的次小割。

    结合这\(3\)部分，你就可以获得\(AC\)。

混淆与破解

题目链接：WC2015 混淆与破解

Description

Solution

Code

这道题还不会，暂时咕着。

未来程序

题目链接：

Description

这是一道提交答案题

题目给定你\(10\)组\(program*.cpp\)和\(program*.in\)，这些都是暴力程序，无法在规定时间内跑出。

你需要优化这\(10\)个程序，并提交对应的\(10\)组\(program*.out\)。

Solution

  • program1
  1. #include <stdio.h>
  2. #include <stdlib.h>
  3. void _() {
  4. 	unsigned long long a, b, c, d, i;
  5. 	scanf("%llu %llu %llu", &a, &b, &c);
  6. 	i = 0;
  7. 	d = 0;
  8. 	while (i < b) {
  9. 		d = d + a;
  10. 		d = d % c;
  11. 		i = i + 1;
  12. 	}
  13. 	printf("%llu\n", d);
  14. }
  16. int main() {
  17. 	_();
  18. 	_();
  19. 	_();
  20. 	_();
  21. 	_();
  23. 	_();
  24. 	_();
  25. 	_();
  26. 	_();
  27. 	_();
  28. }

这个很显然是求\(a\times b \mod c\)，我们用快速乘优化即可。

\(program1.cpp\)

  1. // Author: wlzhouzhuan
  2. #pragma GCC optimize(2)
  3. #pragma GCC optimize(3)
  4. #include <bits/stdc++.h>
  5. using namespace std;
  7. #define ll long long
  8. #define ull unsigned long long
  9. #define rint register int
  10. #define rep(i, l, r) for (rint i = l; i <= r; i++)
  11. #define per(i, l, r) for (rint i = l; i >= r; i--)
  12. #define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
  13. #define pb push_back
  14. #define pii pair <int, int>
  15. #define mp(a, b) make_pair(a, b)
  17. inline int read() {
  18.   int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  19.   while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  20.   while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  21.   return neg * x;
  22. }
  23. inline void print(int x) {
  24.   if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  25.   if (x >= 10) print(x / 10);
  26.   putchar(x % 10 + '0');
  27. }
  29. unsigned long long a, b, c;
  31. ull fmul(ull a, ull b, ull c) {
  32.   ull ans = 0;
  33.   while (b > 0) {
  34.     if (b & 1) ans = (ans + a) % c;
  35.     a = (a + a) % c;
  36.     b >>= 1;
  37.   }
  38.   return ans;
  39. }
  41. int main() {
  42.   freopen("program1.in", "r", stdin);
  43.   freopen("program1.out", "w", stdout);
  45.   while (cin >> a >> b >> c) {
  46.     cout << fmul(a, b, c) << '\n';
  47.   }
  48.   return 0;
  49. }
  • program2
  1. #include <stdio.h>
  2. void _______() {
  3. 	long long i, n, a, b, c, d, p;
  4. 	a = 1;
  5. 	b = 0;
  6. 	c = 0;
  7. 	scanf("%lld %lld", &n, &p);
  8. 	i = 1;
  9. 	while (i <= n) {
  10. 		i = i + 1;
  11. 		b = a + b;
  12. 		a = 2 * b - a + c;
  13. 		c = 2 * b - a + c;
  14. 		while (a >= p) {
  15. 			a -= p;
  16. 		}
  17. 		while (a < 0) {
  18. 			a += p;
  19. 		}
  20. 		while (b >= p) {
  21. 			b -= p;
  22. 		}
  23. 		while (b < 0) {
  24. 			b += p;
  25. 		}
  26. 		while (c >= p) {
  27. 			c -= p;
  28. 		}
  29. 		while (c < 0) {
  30. 			c += p;
  31. 		}
  32. 	}
  33. 	d = a - 2 * b + c;
  34. 	while (d >= p) {
  35. 		d -= p;
  36. 	}
  37. 	while (d < 0) {
  38. 		d += p;
  39. 	}
  40. 	printf("%lld\n", d);
  41. }
  42. int main() {
  43. 	_______();
  44. 	_______();
  45. 	_______();
  46. 	_______();
  47. 	_______();
  48. 	_______();
  49. 	_______();
  50. 	_______();
  51. 	_______();
  52. 	_______();
  53. 	return 0;
  54. }

我们发现这其实就是求以\(0\ 1\)开头的斐波那契数列第\(n\)项的平方。

矩阵快速幂优化即可。

\(program2.cpp\)

  1. // Author: wlzhouzhuan
  2. #pragma GCC optimize(2)
  3. #pragma GCC optimize(3)
  4. #include <bits/stdc++.h>
  5. using namespace std;
  7. #define ll long long
  8. #define ull unsigned long long
  9. #define rint register int
  10. #define rep(i, l, r) for (rint i = l; i <= r; i++)
  11. #define per(i, l, r) for (rint i = l; i >= r; i--)
  12. #define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
  13. #define pb push_back
  14. #define pii pair <int, int>
  15. #define mp(a, b) make_pair(a, b)
  17. inline int read() {
  18.   int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  19.   while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  20.   while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  21.   return neg * x;
  22. }
  23. inline void print(int x) {
  24.   if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  25.   if (x >= 10) print(x / 10);
  26.   putchar(x % 10 + '0');
  27. }
  29. long long n, mod;
  31. struct Matrix {
  32.   ll v[2][2];
  33.   int n, m;
  34.   Matrix (int _n = 0, int _m = 0) {
  35.     n = _n;
  36.     m = _m;
  37.   }
  38.   void clear() {
  39.     memset(v, 0, sizeof(v));
  40.   }
  41. } ans(2, 1), res(2, 2);
  42. Matrix operator * (Matrix a, Matrix b) {
  43.   Matrix ans(a.n, b.m);
  44.   ans.clear();
  45.   for (rint i = 0; i < a.n; i++) {
  46.     for (rint j = 0; j < b.m; j++) {
  47.       for (rint k = 0; k < a.m; k++) {
  48.         (ans.v[i][j] += a.v[i][k] * b.v[k][j]) %= mod;
  49.       }
  50.     }
  51.   }
  52.   return ans;
  53. }
  55. ll fib(ll n) {
  56.   if (n == 1) return 0;
  57.   if (n == 2) return 1;
  58.   ans.clear(), res.clear();
  59.   ans.v[0][0] = 1, ans.v[1][0] = 0;
  60.   res.v[0][0] = res.v[0][1] = res.v[1][0] = res.v[0][0] = 1;
  61.   n -= 2;
  62.   while (n > 0) {
  63.     if (n & 1) ans = res * ans;
  64.     res = res * res;
  65.     n >>= 1;
  66.   }
  67.   return ans.v[0][0];
  68. }
  70. int main() {
  71.   freopen("program2.in", "r", stdin);
  72.   freopen("program2.out", "w", stdout);
  73.   while (cin >> n >> mod) {
  74.     ll x = fib(n);
  75.     cout << x * x % mod << '\n';
  76.   }
  77.   return 0;
  78. }
  • program3
  1. #include <stdio.h>
  2. unsigned long long s0, s1, s2, s3, s4, i, n;
  3. int main() {
  4. 	scanf("%llu", &n);
  5. 	i = 0;
  6. 	while (i <= n) {
  7. 		s0 = s0 + 1;
  8. 		s1 = s1 + i;
  9. 		s2 = s2 + i * i;
  10. 		s3 = s3 + i * i * i;
  11. 		s4 = s4 + i * i * i * i;
  12. 		i = i + 1;
  13. 	}
  14. 	printf("%llu\n", s0);
  15. 	printf("%llu\n", s0);
  16. 	printf("%llu\n", s1);
  17. 	printf("%llu\n", s1);
  18. 	printf("%llu\n", s2);
  19. 	printf("%llu\n", s2);
  20. 	printf("%llu\n", s3);
  21. 	printf("%llu\n", s3);
  22. 	printf("%llu\n", s4);
  23. 	printf("%llu\n", s4);
  24. 	return 0;
  25. }

这是让我们求

\[s0=\sum_{i=1}^{n}1
\]
\[s1=\sum_{i=1}^{n}i
\]
\[s2=\sum_{i=1}^{n}i^2
\]
\[s3=\sum_{i=1}^{n}i^3
\]
\[s4=\sum_{i=1}^{n}i^4
\]

直接套数学公式即可，四次方和公式可别忘了呐~

\(program3.cpp\)

  1. // Author: wlzhouzhuan
  2. #pragma GCC optimize(2)
  3. #pragma GCC optimize(3)
  4. #include <bits/stdc++.h>
  5. using namespace std;
  7. #define ll long long
  8. #define ull unsigned long long
  9. #define rint register int
  10. #define rep(i, l, r) for (rint i = l; i <= r; i++)
  11. #define per(i, l, r) for (rint i = l; i >= r; i--)
  12. #define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
  13. #define pb push_back
  14. #define pii pair <int, int>
  15. #define mp(a, b) make_pair(a, b)
  17. inline int read() {
  18.   int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  19.   while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  20.   while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  21.   return neg * x;
  22. }
  23. inline void print(int x) {
  24.   if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  25.   if (x >= 10) print(x / 10);
  26.   putchar(x % 10 + '0');
  27. }
  29. ull n;
  31. int main() {
  32.   freopen("program3.in", "r", stdin);
  33.   freopen("program3.out", "w", stdout);
  35.   while (cin >> n) {
  36.     ull ans = n + 1;
  37.     cout << ans << '\n';
  38.     cout << ans << '\n';
  39.     ans = n * (n + 1) / 2ull;
  40.     cout << ans << '\n';
  41.     cout << ans << '\n';
  42.     ans = n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6ull;
  43.     cout << ans << '\n';
  44.     cout << ans << '\n';
  45.     ans = n * (n + 1) / 2ull;
  46.     ans = ans * ans;
  47.     cout << ans << '\n';
  48.     cout << ans << '\n';
  49.     ull a[5] = {n, n + 1, 2 * n + 1, 3 * n * n + 3 * n - 1};
  50.     ull ne[5] = {2, 3, 5};
  51.     for (rint i = 0; i < 3; i++) {
  52.       for (rint j = 0; j < 4; j++) {
  53.         if (a[j] % ne[i] == 0) {
  54.           a[j] /= ne[i];
  55.           break;
  56.         }
  57.       }
  58.     }
  59.     ans = a[0] * a[1] * a[2] * a[3];
  60.     //ans = n * (n + 1) * (2ull * n + 1ull) / 30ull * (3ull * n * n + 3ull * n - 1ull);
  61.     cout << ans << '\n';
  62.     cout << ans << '\n';
  63.   }
  64. }
  • program4
  1. #include <iostream>
  3. const int N = 5000, inf = 0x3F3F3F3F;
  4. int n, m, type;
  5. bool data[N + 11][N + 11];
  7. int seed;
  8. int next_rand(){
  9. 	static const int P = 1000000007, Q = 83978833, R = 8523467;
  10. 	return seed = ((long long)Q * seed % P * seed + R) % P;
  11. }
  13. void generate_input(){
  14. 	std::cin >> n >> m >> type;
  15. 	for(int i = 0; i < n; i++)
  16. 		for(int j = 0; j < m; j++)
  17. 			data[i][j] = bool((next_rand() % 8) > 0);
  18. }
  20. long long count1(){
  21. 	long long ans = 0LL;
  22. 	for(int i = 0; i < n; i++)
  23. 		for(int j = 0; j < m; j++)
  24. 			if(data[i][j])
  25. 				for(int k = 0; k < n; k++)
  26. 					for(int l = 0; l < m; l++)
  27. 						if(data[k][l] && (k != i || l != j))
  28. 							ans++;
  29. 	return ans;
  30. }
  32. int abs_int(int x){
  33. 	return x < 0 ? -x : x;
  34. }
  36. long long count2(){
  37. 	long long ans = 0LL;
  38. 	for(int i = 0; i < n; i++)
  39. 		for(int j = 0; j < m; j++)
  40. 			if(data[i][j]){
  41. 				int level = inf;
  42. 				for(int k = 0; k < n; k++)
  43. 					for(int l = 0; l < m; l++)
  44. 						if(!data[k][l]){
  45. 							int dist = abs_int(k - i) + abs_int(l - j);
  46. 							if(level > dist)
  47. 								level = dist;
  48. 						}
  49. 				ans += level;
  50. 			}
  51. 	return ans;
  52. }
  54. int main(){
  55. 	std::cin >> seed;
  56. 	for(int i = 0; i < 10; i++){
  57. 		generate_input();
  58. 		std::cout << (type == 1 ? count2() : count1()) << std::endl;
  59. 	}
  60. 	return 0;
  61. }

这道题如果\(type=0\)，那么就是求有多少对二元组\(((x_i,y_i),(x_j,y_j))\ (i≠j)\)，满足\(data_{x_i,y_i}=1\)且\(data_{x_j,y_j}=1\)。

如果\(type=1\)，那么就是求每一个\(x_i,y_i\)满足\(data_{x_i,y_i}=1\)，离它曼哈顿距离最近的\(data_{x_j,y_j}=0\)距离之和。

显然直接\(dp\)即可。

\(program4.cpp\)

  1. // Author: wlzhouzhuan
  2. #pragma GCC optimize(2)
  3. #pragma GCC optimize(3)
  4. #include <bits/stdc++.h>
  5. using namespace std;
  7. #define ll long long
  8. #define ull unsigned long long
  9. #define rint register int
  10. #define rep(i, l, r) for (rint i = l; i <= r; i++)
  11. #define per(i, l, r) for (rint i = l; i >= r; i--)
  12. #define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
  13. #define pb push_back
  14. #define pii pair <int, int>
  15. #define mp(a, b) make_pair(a, b)
  17. inline int read() {
  18.   int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  19.   while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  20.   while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  21.   return neg * x;
  22. }
  23. inline void print(int x) {
  24.   if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  25.   if (x >= 10) print(x / 10);
  26.   putchar(x % 10 + '0');
  27. }
  29. const int N = 5005;
  30. int data[N][N];
  31. int seed, n, m, type;
  33. int next_rand() {
  34.   static const int P = 1000000007, Q = 83978833, R = 8523467;
  35.   return seed = ((long long)Q * seed % P * seed + R) % P;
  36. }
  37. void generate_input() {
  38.   cin >> n >> m >> type;
  39.   for (rint i = 1; i <= n; i++) {
  40.     for (rint j = 1; j <= m; j++) {
  41.       data[i][j] = bool((next_rand() % 8) > 0);
  42.     }
  43.   }
  44. }
  45. long long count1() {
  46.   long long ans = 0ll;
  47.   for (rint i = 1; i <= n; i++) {
  48.     for (rint j = 1; j <= m; j++) {
  49.       if (data[i][j] == 1) {
  50.         ans++;
  51.       }
  52.     }
  53.   }
  54.   return ans * (ans - 1);
  55. }
  56. int dp1[N][N];
  57. int dp2[N][N];
  58. int dp3[N][N];
  59. int dp4[N][N];
  60. long long count2() {
  61.   mset(dp1, 0x3f), mset(dp2, 0x3f), mset(dp3, 0x3f), mset(dp4, 0x3f);
  62.   for (rint i = 1; i <= n; i++) {
  63.     for (rint j = 1; j <= m; j++) {
  64.       if (!data[i][j]) dp1[i][j] = 0;
  65.       else dp1[i][j] = min(dp1[i - 1][j], dp1[i][j - 1]) + 1;
  66.     }
  67.   }
  68.   for (rint i = 1; i <= n; i++) {
  69.     for (rint j = m; j >= 1; j--) {
  70.       if (!data[i][j]) dp2[i][j] = 0;
  71.       else dp2[i][j] = min(dp2[i - 1][j], dp2[i][j + 1]) + 1;
  72.     }
  73.   }
  74.   for (rint i = n; i >= 1; i--) {
  75.     for (rint j = 1; j <= m; j++) {
  76.       if (!data[i][j]) dp3[i][j] = 0;
  77.       else dp3[i][j] = min(dp3[i + 1][j], dp3[i][j - 1]) + 1;
  78.     }
  79.   }
  80.   for (rint i = n; i >= 1; i--) {
  81.     for (rint j = m; j >= 1; j--) {
  82.       if (!data[i][j]) dp4[i][j] = 0;
  83.       else dp4[i][j] = min(dp4[i + 1][j], dp4[i][j + 1]) + 1;
  84.     }
  85.   }
  86.   long long ans = 0ll;
  87.   for (rint i = 1; i <= n; i++) {
  88.     for (rint j = 1; j <= m; j++) {
  89.       if (data[i][j]) {
  90.         ans += min(min(dp1[i][j], dp2[i][j]), min(dp3[i][j], dp4[i][j]));
  91.       }
  92.     }
  93.   }
  94.   return ans;
  95. }
  97. int main() {
  98.   freopen("program4.in", "r", stdin);
  99.   freopen("program4.out", "w", stdout);
  101.   cin >> seed;
  102.   for (rint i = 0; i < 10; i++) {
  103.     generate_input();
  104.     cout << (type == 1 ? count2() : count1()) << endl;
  105.   }
  106.   return 0;
  107. }
  • program5
  1. #include <iostream>
  3. const int N = 5011;
  4. int n, m;
  5. bool data[N][N];
  7. int seed;
  8. int next_rand(){
  9. 	static const int P = 1000000007, Q = 83978833, R = 8523467;
  10. 	return seed = ((long long)Q * seed % P * seed + R) % P;
  11. }
  13. void generate_input(){
  14. 	std::cin >> n >> m;
  15. 	for(int i = 0; i < n; i++)
  16. 		for(int j = 0; j < m; j++)
  17. 			data[i][j] = bool((next_rand() % 8) > 0);
  18. }
  20. bool check(int x1, int y1, int x2, int y2){
  21. 	bool flag = true;
  22. 	for(int i = x1; i <= x2; i++)
  23. 		for(int j = y1; j <= y2; j++)
  24. 			if(!data[i][j])
  25. 				flag = false;
  26. 	return flag;
  27. }
  29. long long count3(){
  30. 	long long ans = 0;
  31. 	for(int i = 0; i < n; i++)
  32. 		for(int j = 0; j < m; j++)
  33. 			for(int k = i; k < n; k++)
  34. 				for(int l = j; l < m; l++)
  35. 					if(check(i, j, k, l))
  36. 						ans++;
  37. 	return ans;
  38. }
  40. int main(){
  41. 	std::cin >> seed;
  42. 	for(int i = 0; i < 10; i++){
  43. 		generate_input();
  44. 		std::cout << count3() << std::endl;
  45. 	}
  47. 	return 0;
  48. }

题目问你有多少个内部全是\(1\)的矩阵。

我们先表示：

\(h_{i,j}\)表示\((i,j)\)这个点往上连续\(1\)的最长长度。

\(l_{i,j}\)表示从\((i,j)\)开始第一个满足\(h_{i,l_{i,j}}\le h(i,j)\)的点，如果不存在，令\(l_{i,j}=0\)。

\(r_{i,j}\)表示从\((i,j)\)开始第一个满足\(h_{i,r_{i,j}}\le h(i,j)\)的点，如果不存在，令\(r_{i,j}=m+1\)。

那么，对于\((i,j)\)为矩形底的贡献，就是\(val=(j-l_{i,j})*(r_{i,j}-j)*h_{i,j}\)。

考虑一下，这样做如何保证答案不重不漏。

不重：当且仅当在同一行存在两个数\(l_{i,j_1}=l_{i,j_2}\)并且\(r_{i,j_1}=r_{i,j_2}\)的时候，才有可能算重矩形。

但是这种情况是不存在的，因为\(l_{i,j}\)满足了左边第一个小于等于的，右边第一个小于的，显然无法构造出这种情况。

不漏：对于一个矩形，总有一个\(l_{i,j},r_{i,j}\)能框住一个矩形的两边，故这个矩形一定能被计算到。

我们可以通过一个单调栈来计算\(l_{i,j}\)和\(r_{i,j}\)，复杂度\(O(n^2)\)。

但是我写代码的时候\(sb\)了，所以用了一个单调队列来维护，但本质上是一样的。

\(program5.cpp\)

  1. // Author: wlzhouzhuan
  2. #pragma GCC optimize(2)
  3. #pragma GCC optimize(3)
  4. #include <bits/stdc++.h>
  5. using namespace std;
  7. #define ll long long
  8. #define ull unsigned long long
  9. #define rint register int
  10. #define rep(i, l, r) for (rint i = l; i <= r; i++)
  11. #define per(i, l, r) for (rint i = l; i >= r; i--)
  12. #define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
  13. #define pb push_back
  14. #define pii pair <int, int>
  15. #define mp(a, b) make_pair(a, b)
  17. inline int read() {
  18.   int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  19.   while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  20.   while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  21.   return neg * x;
  22. }
  23. inline void print(int x) {
  24.   if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  25.   if (x >= 10) print(x / 10);
  26.   putchar(x % 10 + '0');
  27. }
  29. const int N = 5005;
  30. int a[N][N], h[N][N], l[N][N], r[N][N];
  31. int seed, n, m;
  32. int next_rand() {
  33.   static const int P = 1000000007, Q = 83978833, R = 8523467;
  34.   return seed = ((long long)Q * seed % P * seed + R) % P;
  35. }
  36. void generate_input() {
  37.   cin >> n >> m;
  38.   for (rint i = 1; i <= n; i++) {
  39.     for (rint j = 1; j <= m; j++) {
  40.       a[i][j] = bool((next_rand() % 8) > 0);
  41.     }
  42.   }
  43. }
  45. deque <int> deq;
  47. void push_l(int i, int j) {
  48.   while (!deq.empty() && h[i][deq.back()] > h[i][j]) r[i][deq.back()] = j, deq.pop_back();
  49.   deq.push_back(j);
  50. }
  51. void push_r(int i, int j) {
  52.   while (!deq.empty() && h[i][deq.back()] >= h[i][j]) l[i][deq.back()] = j, deq.pop_back();
  53.   deq.push_back(j);
  54. }
  56. long long count3() {
  57.   for (rint j = 1; j <= m; j++) {
  58.     for (rint i = 1; i <= n; i++) {
  59.       if (a[i][j]) h[i][j] = h[i - 1][j] + 1;
  60.       else h[i][j] = 0;
  61.     }
  62.   }
  63.   long long ans = 0ll;
  64.   for (rint i = 1; i <= n; i++) {
  65.     while (!deq.empty()) deq.pop_back();
  66.     for (rint j = 1; j <= m; j++) {
  67.       push_l(i, j);
  68.     }
  69.     while (!deq.empty()) r[i][deq.back()] = m + 1, deq.pop_back();
  70.     for (rint j = m; j >= 1; j--) {
  71.       push_r(i, j);
  72.     }
  73.     while (!deq.empty()) l[i][deq.back()] = 0, deq.pop_back();
  74.     for (rint j = 1; j <= m; j++) {
  75.       //printf("l[%d][%d] = %d, r[%d][%d] = %d\n", i, j, l[i][j], i, j, r[i][j]);
  76.       //printf("h[%d][%d] = %d\n", i, j, h[i][j]);
  77.       ans += 1ll * (j - l[i][j]) * (r[i][j] - j) * h[i][j];
  78.     }
  79.   }
  80.   return ans;
  81. }
  83. int main() {
  84.   freopen("program5.in", "r", stdin);
  85.   freopen("program5.out", "w", stdout);
  87.   cin >> seed;
  88.   for (rint i = 0; i < 10; i++) {
  89.     generate_input();
  90.     cout << count3() << endl;
  91.   }
  92.   return 0;
  93. }
  • program6
  1. #include <stdio.h>
  2. unsigned long long a, b, c, t, k, n;
  3. unsigned long long rd() {
  4. 	t = (t * t * a + b) % c;
  5. 	return t;
  6. }
  8. int main() {
  9. 	int i;
  10. 	for (i = 0; i <= 9; i++) {
  11. 		scanf("%llu %llu %llu %llu", &n, &a, &b, &c);
  12. 		t = 0;
  13. 		k = 1;
  14. 		while (k <= n) {
  15. 			k = k + 1;
  16. 			rd();
  17. 		}
  18. 		printf("%llu\n", t);
  19. 	}
  20. }

这道题让你计算\(n\)次\(t=(t*t*a+b)\%c\)，很显然直接做是不行的。

我们考虑用\(Floyd\)判圈法。

形象的说，就是乌龟赛跑。乌龟每次走\(1\)步，兔子每次跑\(2\)步，如果这个\(t\)的取值存在循环，即图存在环，那么乌龟和兔子就会相遇。

具体见这篇博客，有讲两种判圈算法。

\(program6.cpp\)

  1. // Author: wlzhouzhuan
  2. #pragma GCC optimize(2)
  3. #pragma GCC optimize(3)
  4. #include <bits/stdc++.h>
  5. using namespace std;
  7. #define ll long long
  8. #define ull unsigned long long
  9. #define rint register int
  10. #define rep(i, l, r) for (rint i = l; i <= r; i++)
  11. #define per(i, l, r) for (rint i = l; i >= r; i--)
  12. #define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
  13. #define pb push_back
  14. #define pii pair <int, int>
  15. #define mp(a, b) make_pair(a, b)
  17. inline int read() {
  18.   int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  19.   while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  20.   while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  21.   return neg * x;
  22. }
  23. inline void print(int x) {
  24.   if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  25.   if (x >= 10) print(x / 10);
  26.   putchar(x % 10 + '0');
  27. }
  29. ull n, a, b, c;
  31. void nxt(ull &t) {
  32.   t = (t * t * a + b) % c;
  33. }
  35. int main() {
  36.   freopen("program6.in", "r", stdin);
  37.   freopen("program6.out", "w", stdout);
  39.   for (rint t = 0; t <= 9; t++) {
  40.     scanf("%llu%llu%llu%llu", &n, &a, &b, &c);
  41.     int tot = 0;
  42.     ull x = 0, y = 0;
  43.     do {
  44.       tot++;
  45.       nxt(x), nxt(y), nxt(y);
  46.     } while (x != y);
  47.     cerr << "meet\n";
  48.     int cycle = 0;
  49.     do {
  50.       cycle++;
  51.       nxt(x);
  52.     } while (x != y);
  53.     cerr << "cycle = " << cycle << '\n';
  54.     int turns = (n - tot) % cycle;
  55.     while (turns--) {
  56.       nxt(y);
  57.     }
  58.     printf("%llu\n", y);
  59.   }
  60.   return 0;
  61. }
  • program7
  1. #include <stdio.h>
  2. #include <string.h>
  3. #include <iostream>
  4. using namespace std;
  5. char s[20][20];
  6. bool check() {
  7. 	for (int i = 0; i <= 15; i++) {
  8. 		bool v[16];
  9. 		memset(v, false, sizeof(v));
  10. 		for (int j = 0; j <= 15; j++) {
  11. 			v[s[i][j] - 'A'] = true;
  12. 		}
  13. 		for (int j = 0; j <= 15; j++) {
  14. 			if (!v[j]) {
  15. 				return false;
  16. 			}
  17. 		}
  18. 	}
  19. 	for (int i = 0; i <= 15; i++) {
  20. 		bool v[16];
  21. 		memset(v, false, sizeof(v));
  22. 		for (int j = 0; j <= 15; j++) {
  23. 			v[s[j][i] - 'A'] = true;
  24. 		}
  25. 		for (int j = 0; j <= 15; j++) {
  26. 			if (!v[j]) {
  27. 				return false;
  28. 			}
  29. 		}
  30. 	}
  31. 	for (int i = 0; i <= 15; i++) {
  32. 		bool v[16];
  33. 		memset(v, false, sizeof(v));
  34. 		for (int j = 0; j <= 15; j++) {
  35. 			v[s[i / 4 * 4 + j / 4][i % 4 * 4 + j % 4] - 'A'] = true;
  36. 		}
  37. 		for (int j = 0; j <= 15; j++) {
  38. 			if (!v[j]) {
  39. 				return false;
  40. 			}
  41. 		}
  42. 	}
  43. 	return true;
  44. }
  46. bool dfs(int x, int y) {
  47. 	if (x == 16 && y == 0) {
  48. 		return check();
  49. 	}
  50. 	if (s[x][y] == '?') {
  51. 		for (char i = 'A'; i <= 'P'; i++) {
  52. 			s[x][y] = i;
  53. 			if (dfs(x, y)) {
  54. 				return true;
  55. 			}
  56. 			s[x][y] = '?';
  57. 		}
  58. 		return false;
  59. 	} else {
  60. 		return dfs(x + (y + 1) / 16, (y + 1) % 16);
  61. 	}
  62. }
  64. void solve(int points) {
  65. 	for (int i = 0; i <= 15; i++) {
  66. 		scanf("%s", s[i]);
  67. 	}
  68. 	if (dfs(0, 0)) {
  69. 		for (int k = 0; k <= points - 1; k++) {
  70. 			for (int i = 0; i <= 15; i++) {
  71. 				printf("%s", s[i]);
  72. 			}
  73. 			putchar('\n');
  74. 		}
  75. 	} else {
  76. 		for (int k = 0; k <= points - 1; k++) {
  77. 			printf("NO SOLUTION.\n");
  78. 		}
  79. 	}
  80. }
  81. int main() {
  82. 	solve(1);
  83. 	solve(2);
  84. 	solve(3);
  85. 	solve(4);
  86. 	return 0;
  87. }

这是……“字母”独？

给了你一个\(16\times 16\)的矩阵，你需要填上\(A-P\)，使得每行每列以及16个\(4\times 4\)的宫内刚好是\(A-P\)这16个字母。

正着扫当然\(TLE\)，于是我们考虑倒着扫~

倒着扫竟然只要\(3-\)秒，太神仙了！

PS: 看来以后爆搜的题目倒着扫优秀点 /cy

\(program7.cpp\)

  1. // Author: wlzhouzhuan
  2. #pragma GCC optimize(2)
  3. #pragma GCC optimize(3)
  4. #include <bits/stdc++.h>
  5. using namespace std;
  7. #define ll long long
  8. #define ull unsigned long long
  9. #define rint register int
  10. #define rep(i, l, r) for (rint i = l; i <= r; i++)
  11. #define per(i, l, r) for (rint i = l; i >= r; i--)
  12. #define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
  13. #define pb push_back
  14. #define pii pair <int, int>
  15. #define mp(a, b) make_pair(a, b)
  17. inline int read() {
  18.   int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  19.   while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  20.   while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  21.   return neg * x;
  22. }
  23. inline void print(int x) {
  24.   if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  25.   if (x >= 10) print(x / 10);
  26.   putchar(x % 10 + '0');
  27. }
  29. const int N = 50;
  30. char s[N][N];
  31. int pw[N], row[N], col[N], block[N];
  33. int be(int x, int y) {
  34.   return 4 * (x / 4) + (y / 4);
  35. }
  37. int opt = 0;
  38. void dfs(int x, int y) {
  39.   if (x == -1) {
  40.     opt = 1;
  41.     return ;
  42.   }
  43.   if (opt) return ;
  44.   if (!opt && s[x][y] != '?') {
  45.     if (y == 0) dfs(x - 1, 15);
  46.     else dfs(x, y - 1);
  47.   } else {
  48.     for (rint i = 0; i <= 15; i++) {
  49.       if (opt) return ;
  50.       if (!opt && !((row[x] >> i) & 1) && !((col[y] >> i) & 1) && !((block[be(x, y)] >> i) & 1)) {
  51.         row[x] ^= pw[i];
  52.         col[y] ^= pw[i];
  53.         block[be(x, y)] ^= pw[i];
  54.         s[x][y] = 'A' + i;
  55.         if (y == 0) dfs(x - 1, 15);
  56.         else dfs(x, y - 1);
  57.         if (opt) return ;
  58.         s[x][y] = '?';
  59.         row[x] ^= pw[i];
  60.         col[y] ^= pw[i];
  61.         block[be(x, y)] ^= pw[i];
  62.       }
  63.     }
  64.   }
  65. }
  66. void solve(int points) {
  67.   memset(row, 0, sizeof(row));
  68.   memset(col, 0, sizeof(col));
  69.   memset(block, 0, sizeof(block));
  70.   for (rint i = 0; i <= 15; i++) {
  71.     scanf("%s", s[i]);
  72.     for (rint j = 0; j <= 15; j++) {
  73.       if (s[i][j] != '?') {
  74.         row[i] ^= pw[s[i][j] - 'A'];
  75.         col[j] ^= pw[s[i][j] - 'A'];
  76.         block[be(i, j)] ^= pw[s[i][j] - 'A'];
  77.       }
  78.     }
  79.   }
  80.   opt = 0, dfs(15, 15);
  81.   if (opt == 1) {
  82.     for (rint k = 0; k <= points - 1; k++) {
  83.       for (rint i = 0; i <= 15; i++) {
  84.         printf("%s", s[i]);
  85.       }
  86.       putchar('\n');
  87.     }
  88.   } else {
  89.     for (rint k = 0; k <= points - 1; k++) {
  90.       puts("NO SOLUTION.");
  91.     }
  92.   }
  93. }
  95. int main() {
  96.   freopen("program7.in", "r", stdin);
  97.   freopen("program7.out", "w", stdout);
  99.   pw[0] = 1;
  100.   for (rint i = 1; i <= 15; i++) pw[i] = pw[i - 1] << 1;
  101.   solve(1), solve(2), solve(3), solve(4);
  102.   return 0;
  103. }
  • program8
  1. #include <stdio.h>
  2. unsigned long long a, b, c, d, e, f, g, n, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z;
  3. unsigned long long p = 1234567891;
  5. int main() {
  6. 	scanf("%llu", &n);
  7. 	a = 0;
  8. 	q = 0;
  9. 	r = 0;
  10. 	s = 0;
  11. 	t = 0;
  12. 	u = 0;
  13. 	v = 0;
  14. 	w = 0;
  15. 	x = 0;
  16. 	y = 0;
  17. 	z = 0;
  18. 	a = 0;
  19. 	while (a < n) {
  20. 		a = a + 1;
  21. 		b = 0;
  22. 		while (b < n) {
  23. 			b = b + 1;
  24. 			c = 0;
  25. 			while (c < n) {
  26. 				c = c + 1;
  27. 				d = 0;
  28. 				while (d < n) {
  29. 					d = d + 1;
  30. 					e = 0;
  31. 					while (e < n) {
  32. 						e = e + 1;
  33. 						f = 0;
  34. 						while (f < n) {
  35. 							f = f + 1;
  36. 							g = 0;
  37. 							while (g < n) {
  38. 								g = g + 1;
  40. 								if (a < b && b < c && c < d && d < e && e < f && f < g) {
  41. 									q = q + 1;
  42. 									q = q % p;
  43. 								}
  45. 								if (a < b && c < g && c < d && e < f && a < d) {
  46. 									r = r + 1;
  47. 									r = r % p;
  48. 								}
  50. 								if (a < d && d < f && c < f && c < e && b < d) {
  51. 									s = s + 1;
  52. 									s = s % p;
  53. 								}
  55. 								if (d < e && b < d && a < f && d < e && b < g) {
  56. 									t = t + 1;
  57. 									t = t % p;
  58. 								}
  60. 								if (c < f && b < f && b < c && f < g && b < f) {
  61. 									u = u + 1;
  62. 									u = u % p;
  63. 								}
  65. 								if (b < d && b < c && d < f && c < e && b < e) {
  66. 									v = v + 1;
  67. 									v = v % p;
  68. 								}
  70. 								if (a < c && a < b && c < e && b < f && e < g) {
  71. 									w = w + 1;
  72. 									w = w % p;
  73. 								}
  75. 								if (b < d && b < f && a < g && c < g && a < e) {
  76. 									x = x + 1;
  77. 									x = x % p;
  78. 								}
  80. 								if (b < f && a < c && c < d && a < c && b < e) {
  81. 									y = y + 1;
  82. 									y = y % p;
  83. 								}
  85. 								if (d < e && e < f && a < d && c < g && b < d) {
  86. 									z = z + 1;
  87. 									z = z % p;
  88. 								}
  89. 							}
  90. 						}
  91. 					}
  92. 				}
  93. 			}
  94. 		}
  95. 	}
  96. 	printf("%llu\n", q);
  97. 	printf("%llu\n", r);
  98. 	printf("%llu\n", s);
  99. 	printf("%llu\n", t);
  100. 	printf("%llu\n", u);
  101. 	printf("%llu\n", v);
  102. 	printf("%llu\n", w);
  103. 	printf("%llu\n", x);
  104. 	printf("%llu\n", y);
  105. 	printf("%llu\n", z);
  106. 	return 0;
  107. }

仔细观察，我们就会发现，其实程序就是求了10组组合问题。组合数随便搞搞就可以得到答案。

\(program8.cpp\)

  1. // Author: wlzhouzhuan
  2. #pragma GCC optimize(2)
  3. #pragma GCC optimize(3)
  4. #include <bits/stdc++.h>
  5. using namespace std;
  7. #define ll long long
  8. #define ull unsigned long long
  9. #define rint register int
  10. #define rep(i, l, r) for (rint i = l; i <= r; i++)
  11. #define per(i, l, r) for (rint i = l; i >= r; i--)
  12. #define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
  13. #define pb push_back
  14. #define pii pair <int, int>
  15. #define mp(a, b) make_pair(a, b)
  17. inline int read() {
  18.   int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  19.   while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  20.   while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  21.   return neg * x;
  22. }
  23. inline void print(int x) {
  24.   if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  25.   if (x >= 10) print(x / 10);
  26.   putchar(x % 10 + '0');
  27. }
  29. ull n, p = 1234567891;
  31. ull ksm(ull a, ull b) {
  32.   ull res = 1;
  33.   while (b > 0) {
  34.     if (b & 1) res = res * a % p;
  35.     a = a * a % p;
  36.     b >>= 1;
  37.   }
  38.   return res;
  39. }
  41. int main() {
  42.   freopen("program8.in", "r", stdin);
  43.   freopen("program8.out", "w", stdout);
  45.   scanf("%llu", &n);
  46.   n %= p;
  47.   printf("%I64u\n",n>6?(n*(n-1)%p*(n-2)%p*(n-3)%p*(n-4)%p*(n-5)%p*(n-6)%p*ksm(5040,p-2)%p):0);
  48.   printf("%I64u\n",n>1?((n-1)*(n-1)%p*n%p*n%p*(2*n-1)%p*(2*n%p*n%p-2*n%p+1+p)%p*ksm(60,p-2)%p):0);
  49.   printf("%I64u\n",n>2?(n*n%p*(n-1)%p*(n-1)%p*(n-2)%p*(2*n-1)%p*(7*n-3)%p*ksm(360,p-2)%p):0);
  50.   printf("%I64u\n",n>2?(n*n%p*n%p*(n-1)%p*(n-1)%p*(n-2)%p*(3*n-1)%p*ksm(48,p-2)%p):0);
  51.   printf("%I64u\n",n>3?(n*n%p*n%p*n%p*(n-1)%p*(n-2)%p*(n-3)%p*ksm(24,p-2)%p):0);
  52.   printf("%I64u\n",n>2?(n*n%p*n%p*(n-1)%p*(n-2)%p*(3*n*n%p-6*n%p+1+p)%p*ksm(60,p-2)%p):0);
  53.   printf("%I64u\n",n>3?(n*n%p*(n-1)%p*(n-2)%p*(n-3)%p*(5*n*n%p-9*n%p+1+p)%p*ksm(360,p-2)%p):0);
  54.   printf("%I64u\n",n>1?(n*n%p*(n-1)%p*(n-1)%p*(2*n-1)%p*(5*n%p*n%p-5*n%p+2+p)%p*ksm(144,p-2)%p):0);
  55.   printf("%I64u\n",n>2?(n*n%p*n%p*(n-1)%p*(n-1)%p*(n-2)%p*(2*n-1)%p*ksm(36,p-2)%p):0);
  56.   printf("%I64u\n",n>3?(n*n%p*(n-1)%p*(n-1)%p*(n-2)%p*(n-3)%p*(2*n-3)%p*ksm(240,p-2)%p):0);
  57.   return 0;
  58. }

最后两组是恶搞（\(program9\)扯出\(chenlijie\)大神和\(MD5\)解密，\(program10\)扯出《独立宣言》，数每个字母出现的次数，并进行\(hash\)）

参考：

https://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/p/6268775.html

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