数论-求n以内的质数

一、埃拉托斯特尼筛法

　　名字很高大上，然而并没有什么卵用……

思路：

　　在把<=√n的质数所有的<=n的倍数剔除，剩下的就都是质数了，很容易理解……

　　复杂度O(nloglogn)

 #include<cmath>
 const int MAXN=;
 int b[MAXN/],top;
 bool a[MAXN];
 void cal_prime_num(int n)
 {
     k=sqrt(n);
     for(int i=;i<k;i++)
     {
         if(!a[i])
         {
             int j=;
             b[++top]=i;
             while(i*j<n)
             {
                    a[i*j]=true;
                    ++j;
             }
         }
      }
 }

二、欧拉筛

　　上一个筛法似乎复杂度不大，但是遇到10⁷规模的数据就会炸，主要是因为一个数会被不同的质数筛好几遍，欧拉筛保证一个合数只被它的最小质因子筛去一遍，这就是整个代码最核心的部分，也是难理解的部分，然而只有一句话：

if(!i%pri[j])break;

　　证明转自他人博客：

prime数组中的素数是递增的，当 i 能整除 prime_j，那么 i*prime_j+1这个合数肯定被prime_j乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime_j，prime_j比prime_j+1小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。
在满足i%prme_j==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,prime_j必定是prime_j*i的最小因子。

　　复杂度O(n)

　　其余的代码就很容易理解了：

 #include<cmath>
 const int MAXN=;
 int b[MAXN/],top;
 bool ispri[MAXN];
 void cal_prime_num(int n)
 {
     for(int i=;i<=n;++i)
     {
         if(!ispri[i])pri[++top]=i;
         for(int j=;j<=top&&i*pri[j]<=n;++j)
         {
             ispri[i*pri[j]]=true;
             if(!i%pri[j])break;
         }
     }
 }