数学图形之莫比乌斯带(mobius)

莫比乌斯带,又被译作:莫比斯环,梅比斯環或麦比乌斯带.是一种拓扑学结构，它只有一个面（表面），和一个边界.即它的正反两面在同一个曲面上,左右两个边在同一条曲线上.看它的名字很洋气,听它的特征很玄乎,实际上实现起来很容易,就是将一个纸条拧一下,然后粘起两头,所生成的带.公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”。

下面将展示几种莫比乌斯带的生成算法和切图,使用自己定义语法的脚本代码生成数学图形.相关软件参见:数学图形可视化工具,该软件免费开源.

(1)

vertices = D1: D2:
u = from  to (*PI) D1
v = from - to  D2
 
a = sin(u)
b = cos(u)
 
c = sin(u/)
d = cos(u/)
 
r = 5.0
m = 0.2
 
x = r*( + v*m*d)*b
y = r*( + v*m*d)*a
z = r*v*m*c

(2)

vertices = D1: D2:
u = from  to (*PI) D1
v = from - to  D2
 
r = 
 
x = r*( + v*cos(u/))*cos(u)
y = r*( + v*cos(u/))*sin(u)
z = r*v*sin(u/)

(3)

#http://www.mathcurve.com/surfaces/mobius/mobius.shtml
 
vertices = D1: D2:
t = from  to (*PI) D1
r = from 0.6 to  D2
 
s = sin(t)
c = cos(t)
 
x = [*r*r*(r*r - ) - *r*( + pow(r, ))*c + (pow(r, ) - )*(*c*c - )]*s / (*r*r*r)
y = [*( - pow(r, ))*pow(c,) - *r*( + pow(r, )) + *(r*r - )*( + pow(r, ))*c + *r*( + pow(r, ))*c*c] / (*r*r*r)
z = *s*(r*r - )/r

(4)

#http://www.mathcurve.com/surfaces/mobiussurface/mobiussurface.shtml
vertices = D1: D2:
u = from  (-) to () D1
v = from  to (PI*) D2
a = rand2(, )
x = (a + u*cos(v/))*cos(v)
z = (a + u*cos(v/))*sin(v)
y = u*sin(v/)

(5)

将一个纸条拧一下,然后粘起两头会得到莫比乌斯带,那么拧上N圈呢?

vertices = D1: D2:
u = from  to (*PI) D1
v = from - to  D2
r =
n =
x = r*( + v*cos(n*u))*cos(u)
z = r*( + v*cos(n*u))*sin(u)
y = r*v*sin(u/)