bzoj 2839 集合计数 —— 二项式反演
题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2839
设 \( f(i) \) 为至少 \( i \) 个选择,则 \( f(i) = C_{n}^{i} * (2^{2^{n-i}} - 1) \),因为其他可选可不选;
设 \( g(i) \) 为恰好 \( i \) 个选择,则 \( f(i) = \sum\limits_{j=i}^{n} g(j) * C_{j}^{i} \)
感觉形式不是一般那种,所以想换一下,设 \( f(i) \) 为至多 \( i \) 个不选,则 \( f(i) = C_{n}^{i} * (2^{2^{i}} - 1) \)
\( g(i) \) 为恰好 \( i \) 个不选,则 \( f(i) = \sum\limits_{j=0}^{i} g(j) * C_{i}^{j} \)
则 \( g(i) = \sum\limits_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} * C_{i}^{j} * f(j) \)
然而这样求 \( g(n-k) = \sum\limits_{i=0}^{n-k} (-1)^{n-k-i} * C_{n-k}^{i} * f(i) \) 却不对...改成
\( g(n-k) = \sum\limits_{i=0}^{n-k} (-1)^{n-k-i} * C_{n-i}^{k} * f(i) \) 却对了...不明白啊...
后来知道上面那个形式也可以直接反演 \( g(i) = \sum\limits_{j=i}^{n} (-1)^{j-i} * C_{j}^{i} * f(j) \)
还是不明白那种做法,组合数为什么...
注意放在指数的数是对 mod-1 取模!
upt:如果 \( f(i) \) 是至多 \( i \) 个不选,那么 \( f(i) = \sum\limits_{j=0}^{i} C_{n-j}^{n-i} * g(j) \),而不是 \( C_{i}^{j} \)
因为“至多 \( i \) 个”,所以 \( i \) 是不确定的,而 \( n-i \) 确定必选,算方案的时候也是 \( f(i) = C_{n}^{i} * (2^{2^{i}}-1) \)
所以应该是在能确定的部分中进行选择,也就是 \( C_{n-j}^{n-i} \) !
代码如下:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int rd()
{
int ret=,f=; char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=; ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<='')ret=ret*+ch-'',ch=getchar();
return f?ret:-ret;
}
int const xn=1e6+,mod=1e9+;
int n,k,jc[xn],jcn[xn],f[xn];
ll pw(ll a,int b,int md){ll ret=; for(;b;b>>=,a=a*a%md)if(b&)ret=ret*a%md; return ret;}
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}
void init()
{
jc[]=;
for(int i=;i<=n;i++)jc[i]=(ll)jc[i-]*i%mod;
jcn[n]=pw(jc[n],mod-,mod);
for(int i=n-;i>=;i--)jcn[i]=(ll)jcn[i+]*(i+)%mod;
}
int C(int n,int m){return (ll)jc[n]*jcn[m]%mod*jcn[n-m]%mod;}
int main()
{
n=rd(); k=rd(); init();
for(int i=;i<=n;i++)f[i]=(ll)C(n,i)*(pw(,pw(,i,mod-),mod)-)%mod;//
int ans=;
for(int i=;i<=n-k;i++)ans=upt(ans+(ll)C(n-i,k)*f[i]*(((n-k-i)&)?-:)%mod);//C(n-k,i)?
/* //也可
for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=(ll)C(n,i)*(pw(2,pw(2,n-i,mod-1),mod)-1)%mod;//
int ans=0;
for(int i=k,t=1;i<=n;i++,t=-t)ans=upt(ans+(ll)C(i,k)*f[i]*t%mod);
*/
printf("%d\n",ans);
return ;
}
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