设 $L=L(\xi_0,\xi_1,\cdots,\xi_n)$ 关于变量 $\xi_0>0,\xi_1,\cdots,\xi_n$ 为严格凸的. 证明函数 $$\bex M=\cfrac{1}{\xi_0}L(\xi_0,\xi_1,\cdots,\xi_n) \eex$$ 关于变量 $$\bex \eta_0=\cfrac{1}{\xi_0},\quad \xi_1=\cfrac{\xi_1}{\xi_0},\cdots,\eta_n=\cfrac{\xi_n}{\xi_0} \eex$$ 是严格凸的.

证明: 仅对 $n=1$ 的情形加以证明. 先给出 $$\bex M=\eta_0 L\sex{\cfrac{1}{\eta_0},\cfrac{\eta_1}{\eta_0}}. \eex$$ 于是 $$\beex \bea M_{\eta_0}&=L+\eta_0 \sez{L_{\xi_0}\sex{-\cfrac{1}{\eta_0^2}} +L_{\xi_1}\sex{-\cfrac{\eta_1}{\eta_0^2}}}\\ &=L-\cfrac{1}{\eta_0}L_{\xi_0} -\cfrac{\eta_1}{\eta_0}L_{\xi_1},\\ M_{\eta_1}&=\eta_0L_{\xi_1}\cfrac{1}{\eta_0} =L_{\xi_1}; \eea \eeex$$ $$\beex \bea M_{\eta_0\eta_1} &=L_{\xi_0}\sex{-\cfrac{1}{\eta_0^2}} +L_{\xi_1}\sex{-\cfrac{\eta_1}{\eta_0^2}}\\ &\quad+\cfrac{1}{\eta_0^2}L_{\xi_0}-\cfrac{1}{\eta_0}\sez{ L_{\xi_0\xi_0}\sex{-\cfrac{1}{\eta_0^2}} +L_{\xi_0\xi_1}\sex{-\cfrac{\eta_1}{\eta_0^2}} }\\ &\quad+\cfrac{\eta_1}{\eta_0^2}L_{\xi_1} -\cfrac{\eta_1}{\eta_0^2} \sez{ L_{\xi_0\xi_1}\sex{-\cfrac{1}{\eta_0^2}} +L_{\xi_1\xi_1}\sex{-\cfrac{\eta_1}{\eta_0^2}} }\\ &=\cfrac{1}{\eta_0^3}\sex{ L_{\xi_0\xi_0} +2\eta_1L_{\xi_0\xi_1}+\eta_1^2L_{\xi_1\xi_1} }\\ &=\cfrac{1}{\eta_0^3} \sex{\ba{cc}1& \eta_1 \ea} \sex{\ba{cc} L_{\xi_0\xi_0}&L_{\xi_0\xi_1}\\ L_{\xi_0\xi_1}&L_{\xi_1\xi_1} \ea} \sex{\ba{cc} 1\\ \eta_1 \ea}\\ &>0, \eea \eeex$$ $$\beex \bea M_{\eta_0\eta_1} &=M_{\eta_1\eta_0}=L_{\xi_1\xi_0}\sex{-\cfrac{1}{\eta_0^2}} +L_{\xi_1\xi_1}\sex{-\cfrac{\eta_1}{\eta_0^2}}\\ &=-\cfrac{1}{\eta_0^2}\sex{L_{\xi_0\xi_1}+\eta_1 L_{\xi_1\xi_1}},\\ M_{\eta_1\eta_1}&=\cfrac{1}{\eta_0}L_{\xi_1\xi_1}; \eea \eeex$$ $$\beex \bea M_{\eta_0\eta_0}M_{\eta_1\eta_1}-M_{\eta_0\eta_1}^2 &=\cfrac{1}{\eta_0^4} \sex{L_{\xi_0\xi_0}+2\eta_1L_{\xi_0\xi_1}+\eta_1^2L_{\xi_1\xi_1}}L_{\xi_1\xi_1}\\ &\quad -\cfrac{1}{\eta_0^4} \sex{L_{\xi_0\xi_1}^2+2\eta_1L_{\xi_0\xi_1L_{\xi_1\xi_1} +\eta_1^2L_{\xi_1\xi_1}^2}}\\ &=\cfrac{1}{\eta_0^4}L_{\xi_0\xi_0}L_{\eta_1\eta_1}\\ &>0. \eea \eeex$$

[物理学与PDEs]第2章习题12 严格凸性的转换的更多相关文章

  1. [物理学与PDEs]第1章习题12 Coulomb 规范下电磁场的标势、矢势满足的方程

    试给出在 Coulomb 规范下, 电磁场的标势 $\phi$ 与矢势 ${\bf A}$ 所满足的方程. 解答: 真空中的 Maxwell 方程组为 $$\bee\label{1_10_12:eq} ...

  2. [物理学与PDEs]第2章习题参考解答

    [物理学与PDEs]第2章习题1 无旋时的 Euler 方程 [物理学与PDEs]第2章习题2 质量力有势时的能量方程 [物理学与PDEs]第2章习题3 Laplace 方程的 Neumann 问题 ...

  3. [物理学与PDEs]第1章习题参考解答

    [物理学与PDEs]第1章习题1 无限长直线的电场强度与电势 [物理学与PDEs]第1章习题2 均匀带电球面的电场强度与电势 [物理学与PDEs]第1章习题3 常场强下电势的定解问题 [物理学与PDE ...

  4. [物理学与PDEs]第3章习题参考解答

    [物理学与PDEs]第3章习题1 只有一个非零分量的磁场 [物理学与PDEs]第3章习题2 仅受重力作用的定常不可压流理想流体沿沿流线的一个守恒量 [物理学与PDEs]第3章习题3电磁场的矢势在 Lo ...

  5. [物理学与PDEs]第4章习题参考解答

    [物理学与PDEs]第4章习题1 反应力学方程组形式的化约 - 动量方程与未燃流体质量平衡方程 [物理学与PDEs]第4章习题2 反应力学方程组形式的化约 - 能量守恒方程 [物理学与PDEs]第4章 ...

  6. [物理学与PDEs]第5章习题参考解答

    [物理学与PDEs]第5章习题1 矩阵的极分解 [物理学与PDEs]第5章习题2 Jacobian 的物质导数 [物理学与PDEs]第5章习题3 第二 Piola 应力张量的对称性 [物理学与PDEs ...

  7. [物理学与PDEs]第5章习题3 第二 Piola 应力张量的对称性

    试证明: 在物质描述下, 动量矩守恒定律等价于第二 Piola 应力张量的对称性. 证明: 由 $$\beex \bea \int_{G_t}\rho\sex{{\bf y}\times\cfrac{ ...

  8. [物理学与PDEs]第4章习题4 一维理想反应流体力学方程组的守恒律形式及其 R.H. 条件

    写出在忽略粘性与热传导性, 即设 $\mu=\mu'=\kappa=0$ 的情况, 在 Euler 坐标系下具守恒律形式的一维反应流动力学方程组. 由此求出在解的强间断线上应满足的 R.H. 条件 ( ...

  9. [物理学与PDEs]第4章习题3 一维理想反应流体力学方程组的数学结构

    证明: Euler 坐标系下的一维反应流体力学方程组 (3. 10)-(3. 13) 也是一个一阶拟线性双曲型方程组. 证明: 由 (3. 10), (3. 12), (3. 13) 知 $$\bex ...

随机推荐

  1. APACHE SPARK 2.0 API IMPROVEMENTS: RDD, DATAFRAME, DATASET AND SQL

    What’s New, What’s Changed and How to get Started. Are you ready for Apache Spark 2.0? If you are ju ...

  2. Spring-扫描注解原理,注解自动扫描原理分析

    注解自动扫描原理分析 在spring的配置文件中加入如下代码,spring便开启了自动扫描,那么它的底层到底是如何实现的呢? <context:component-scan base-packa ...

  3. Loj #2321. 「清华集训 2017」无限之环

    Loj #2321. 「清华集训 2017」无限之环 曾经有一款流行的游戏,叫做 *Infinity Loop***,先来简单的介绍一下这个游戏: 游戏在一个 \(n \times m\) 的网格状棋 ...

  4. Ubuntu 18.04.1 下快速搭建 LNMP环境

    1.Nginx的安装 Nginx安装是属于最简单的,只需要在命令行执行 sudo apt-get install nginx 就能自动安装 Nginx,其中过程中需要 选择 Y/n 的选择Y就行了,当 ...

  5. C# 之 static的用法详解

    有的东西你天天在用,但未必就代表你真正了解它,正如我之前所了解的 static . 一.静态类 静态类与非静态类的重要区别在于静态类不能实例化,也就是说,不能使用 new 关键字创建静态类类型的变量. ...

  6. jenkins的安装部署

    jenkins安装 参考连接: https://wiki.jenkins.io/display/JENKINS/Installing+Jenkins+on+Red+Hat+distributions ...

  7. Git—分支管理

    Git—分支管理 分支学习:branch称为分支,默认仅有一个名为master的分支.一般开发新功能流程为:开发新功能时会在分支dev上进行,开发完毕后再合并到master分支. branch相关常用 ...

  8. SqlServer如何判断字段中是否含有汉字?

    --/* --unicode编码范围: --汉字:[0x4e00,0x9fa5](或十进制[19968,40869]) --数字:[0x30,0x39](或十进制[48, 57]) --小写字母:[0 ...

  9. centos7之NFS使用

    NFS是Network File System的缩写,即网络文件系统.客户端通过挂载的方式将NFS服务器端共享的数据目录挂载到本地目录下. 一.nfs为什么需要RPC? 因为NFS支持的功能很多,不同 ...

  10. Node.js创建服务器和模拟客户端请求

    1. 何为服务器 服务器是某种长期运行,等待请求资源的应用程序 2. 常见Web应用架构 3. 如何创建web服务器 Web服务器是使用HTTP协议,等待客户端连接后请求资源的驻守应用程序:HTTP协 ...