神奇的Noip模拟试题一试 2 排队

2 排队

(lineup.pas/.c/.cpp)

【问题描述】

小sin所在的班有n名同学，正准备排成一列纵队，但他们不想按身高从矮到高排，那样太单调，太没个性。他们希望恰好有k对同学是高的在前，矮的在后，其余都是矮的在前，高的在后。如当n=5，k=3时，假设5人从矮到高分别标为1、2、3、4、5，则（1,5,2,3,4）、（2,3,1,5,4）、（3,1,4,2,5）都是可行的排法。小sin想知道总共有多少种可行排法。

【输入】

输入文件名为lineup.in。

一行两个整数n和k，意义见问题描述。

【输出】

输出文件名为lineup.out。

输出一个整数，表示可行排法数。由于结果可能很大，请输出排法数mod 1799999的值。

【输入输出样例】

lineup.in	lineup.out
5 3	15

【数据范围】

对于20%的数据，有n≤10，k≤40；

对于60%的数据，有n≤100，k≤500；

对于100%的数据，有n≤100，k≤n*(n-1)/2。

解题报告

　　像这样的题，也正如这套题一样的完全是思考的时间多。（哎，说得好像我做出来了一样，但其实我连样例都没有去想“天，15个，算了不想了。”所以啊，还是要有耐心，考场上一定要静下来，不要急躁，有同学用了两个小时找规律，最终不负有心人，全过了。）

　　首先，我们需要找规律，而找规律不是随机就找到了，需要观察和对比两组甚至多组数据。于是，打开打表模式：

n\k  0   1   2   3   4   5   6

1     1   0   0   0   0   0   0

2     1   1   0   0   0   0   0

3     1   2   2   1   0   0   0

4     1   3   5   6   5   3   1

5     1   4   9  15  20 22 20 .......

　　　每一个n都有一个k的数量的限制，即长度 l ，如果k>l 就为0 ，l =0,1,3,6,等等。l+=i-1;  每一次都是在上一次的基础上添一个比上一次最大值大1的数，如下：

上一次：1 2 3 4 5

这一次添一个6 有6 种添法：在5后，在4~5间，在3~4间，在2~3间，在1~2间，在1前；

分别有6种增加的可能性：    不影响，多一组，  多两组，   多三组，   多四组，    多五组

　　因此可以列出方程：f[i][j]( i 个数，取 j 组)=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]+...+f[i-1][j-i+1]

　　  (转换)：f[i][j-1]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j-2]+...+f[i-1][j-i]

　　  (二式相减)：f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j]-f[i-1][j-i]

　　方程有了，代码就简单多了。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 int n,k;
 int f[][];
 const int inf=;
 int main()
 {
     freopen("lineup.in","r",stdin);
     freopen("lineup.out","w",stdout);
     cin>>n>>k;
     int l=;
     for (int i=;i<=n;i++)
     {
         l+=i-;
         f[i][]=;
         for (int j=;j<=k;j++)
         {
             if (j>l) break;
                 f[i][j]=(f[i-][j]+f[i][j-])%inf;
             if (j-i>=) f[i][j]=(f[i][j]-f[i-][j-i]+inf)%inf;
         }
     }
     cout<<f[n][k];
     return ;
 }