【bzoj1043】下落的圆盘
【bzoj1043】下落的圆盘
题意
有n个圆盘从天而降,后面落下的可以盖住前面的。求最后形成的封闭区域的周长。看下面这副图, 所有的红色线条的总长度即为所求.
\(1\leq n\leq 1000\)
分析
自己在做这一道题的时候有种想法:
由于我们的精度有一定的限制。
所以我们把这幅连续的图离散成一个个微小的点。
然后不断染色。
然而由于图太大了,无法存下。
这种Trick就不成立喽。
换一种想法。
我们考虑枚举每一个圆,求它在最后剩下的弧的总长度,然后所有相加即可。
最后剩下的,就是在后面的圆作用下,仍然留下来的,设由\(\alpha\)度留下来,那么贡献为\(\alpha r\)。
根据容斥原理,我们只需要求出在后面的圆作用下,被覆盖的度数\(\beta\),然后贡献为\((2\pi-\beta)r\)。
以我们当前枚举的圆的圆心为源点,建立平面直角坐标系。
那么我们考虑之后每一个圆对其的影响,设当前圆为\(a\),之后圆为\(b\)。
情况1:当前圆被完全覆盖,若出现,那么这个圆就废掉了,直接退出;
情况2:当前圆把之后圆完全覆盖,那么之后的圆就不会对当前的圆产生影响;
情况3:当前圆与之后圆不相交,那么也不会产生影响;
情况4:当前圆与之后圆相交。我们要求出:交点,交点与\(x\)轴的夹角。至于怎么求,真的只能自己YY了,连接点\(a\)与点\(b\),把弧分割成线段ab与\(x\)轴的夹角和一个知道三边边长的三角形的夹角,第二部分用余弦定理解决,没有图很难说清。一段弧被表示成了一段区间,然后排一次序,扫一遍就好了。
代码
待完善。
小结
(1)浮点误差
涉及到浮点误差的几何问题或代数问题,通常可以把平面或者空间进行离散,离散成微小的点,进行大概率正确性的转化。
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