noip2007 树网的核

P1099 树网的核

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• 标签动态规划树形结构2007NOIp提高组
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题目描述

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边到有正整数的权，我们称T为树网（treebetwork），其中V，E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。

路径：树网中任何两结点a，b都存在唯一的一条简单路径，用d(a, b)表示以a, b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a, b)为a, b两结点间的距离。

　　D(v, P)=min{d(v, u), u为路径P上的结点}。

树网的直径：树网中最长的路径成为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。

偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即

ECC(F)=max{d(v, F)，v∈V}

任务：对于给定的树网T=(V, E, W)和非负整数s，求一个路径F，他是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V, E, W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

输入输出格式

输入格式：

输入文件core.in包含n行：

第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。设结点编号以此为1，2，……，n。

从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。

所给的数据都是争取的，不必检验。

输出格式：

输出文件core.out只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

输入输出样例

输入样例#1：

【输入样例1】
5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3
【输入样例2】
8 6
1 3 2
2 3 2
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3

输出样例#1：

【输出样例1】
5
【输出样例2】
5

说明

40%的数据满足：5<=n<=15

70%的数据满足：5<=n<=80

100%的数据满足：5<=n<=300，0<=s<=1000。边长度为不超过1000的正整数

NOIP 2007 提高第四题

分析：题目非常长，各种概念也非常杂乱，我们按照题目给的一条一条的求，首先如何求出直径呢？因为要求最远的两个点，所以肯定要求出每两个点之间的距离，可以用SPFA,不过本题数据较少，考虑到SPFA算法比较复杂所以用FLOYD算法求，求出了直径之后，我们就要求在直径上满足要求的线段，怎么要才能知道一个点i是否在直径l-r上呢？设d[i][j]为i,j的最短距离，那么如果d[l][i] + d[i][r] == d[l][r],那么这个点i肯定在直径l-r上.其实求直径还有一个办法，那就是取一个点u,dfs求出u的最远点l,再dfs求出l的最远点r,那么l-r就是一条直径，基于这种办法，我们知道直径上的点一定是离直径的两个端点的距离最远，否则这就不是一条直径.我们枚举的是一条线段，如果直径长度>s,偏心距一定是线段上的某个端点到直径上某个端点的最小值中的最大值,否则有可能选出来的路径覆盖了整个直径，那么得到的答案就会是0，对于这种情况，在直径外找一个点求最大距离就好了，不断更新最优值，就能够求出偏心距了.因为直径有很多条，而偏心距只有一个，所以只需要求一条直径即可.

include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

#define inf 1<<30

using namespace std;

int n, s, ans;
int d[][];
bool vis[][];

int main()
{
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    scanf("%d%d", &n, &s);
    for (int i = ; i <= n; i++)
        for (int j = ; j <= n; j++)
            if (i != j)
                d[i][j] = inf;

    for (int i = ; i < n - ; i++)
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        d[v][u] = d[u][v] = w;
    }
    for (int k = ; k <= n; k++)
        for (int i = ; i <= n; i++)
            for (int j = ; j <= n; j++)
                if (d[i][k] < inf && d[k][j] < inf)
                    d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
    int maxi = , l, r;
    for (int i = ; i <= n; i++)
        for (int j = ; j <= n; j++)
            if (d[i][j] != inf && d[i][j] > maxi)
            {
                maxi = d[i][j];
                l = i, r = j;
            }
    ans = inf;
    int ecc = ;
    if (d[l][r] <= s)
    {
        for (int i = ; i <= n; i++)
            if (d[l][i] + d[i][r] == d[l][r])
                for (int j = ; j <= n; j++)
                    if (d[l][j] + d[j][r] != d[l][r])
                        ans = min(d[i][j], ans);
        printf("%d\n", ans);
    }
    else
    {
        for (int i = ; i <= n; i++)
            if (d[l][i] + d[i][r] == d[l][r])
                for (int j = ; j <= n; j++)
                    if (d[l][j] + d[j][r] == d[l][r])
                    {
                        if (d[i][j] > s)
                            continue;
                        ecc = max(min(d[i][l], d[j][l]), min(d[r][i], d[r][j]));
                        ans = min(ans, ecc);
                    }
        printf("%d\n", ans);
    }

    return ;
}

吐槽：犯了一个很傻的错，竟然将两个inf值直接相加，唉，还是做题太少了.