最短路径 | 深入浅出Dijkstra算法(一)
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写在前面:
上次我们介绍了神奇的只有五行的 Floyd-Warshall 最短路算法,它可以方便的求得任意两点的最短路径,这称为“多源最短路”。
这次来介绍指定一个点(源点)到其余各个顶点的最短路径,也叫做“单源最短路径”。例如求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的最短路径。
Dijkstra算法
与 Floyd-Warshall 算法一样,这里仍然使用二维数组 e 来存储顶点之间边的关系,初始值如下。
我们还需要用一个一维数组 dis 来存储 1 号顶点到其余各个顶点的初始路程,我们可以称 dis 数组为“距离表”,如下。
我们将此时 dis 数组中的值称为最短路的“估计值”。
既然是求 1 号顶点到其余各个顶点的最短路程,那就先找一个离 1 号顶点最近的顶点。
通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点最近是 2 号顶点。当选择了 2 号顶点后,dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”,即 1 号顶点到 2 号顶点的最短路程就是当前 dis[2]值。
为什么呢?你想啊,目前离 1 号顶点最近的是 2 号顶点,并且这个图所有的边都是正数,那么肯定不可能通过第三个顶点中转,使得 1 号顶点到 2 号顶点的路程进一步缩短了。因此 1 号顶点到其它顶点的路程肯定没有 1 号到 2 号顶点短,对吧 O(∩_∩)O~
既然选了 2 号顶点,接下来再来看 2 号顶点有哪些出边呢。有 2->3 和 2->4 这两条边。
先讨论通过 2->3 这条边能否让 1 号顶点到 3 号顶点的路程变短。也就是说现在来比较 dis[3]和 dis[2]+e[2][3]的大小。其中 dis[3]表示 1 号顶点到 3 号顶点的路程,dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 号顶点到 2 号顶点的路程,e[2][3]表示 2->3 这条边。所以 dis[2]+e[2][3]就表示从 1 号顶点先到 2 号顶点,再通过 2->3 这条边,到达 3 号顶点的路程。
我们发现 dis[3]=12,dis[2]+e[2][3]=1+9=10,dis[3]>dis[2]+e[2][3],因此 dis[3]要更新为 10。这个过程有个专业术语叫做“松弛”
。即 1 号顶点到 3 号顶点的路程即 dis[3],通过 2->3 这条边松弛成功。 这便是 Dijkstra 算法的主要思想:通过 “边” 来松弛 1 号顶点到其余各个顶点的路程。
同理通过 2->4(e[2][4]),可以将 dis[4]的值从 ∞ 松弛为 4(dis[4]初始为 ∞,dis[2]+e[2][4]=1+3=4,dis[4]>dis[2]+e[2][4],因此 dis[4]要更新为 4)。
刚才我们对 2 号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后 dis 数组为:
接下来,继续在剩下的 3、4、5 和 6 号顶点中,选出离 1 号顶点最近的顶点。通过上面更新过 dis 数组,当前离 1 号顶点最近是 4 号顶点。此时,dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对 4 号顶点的所有出边(4->3,4->5 和 4->6)用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为:
继续在剩下的 3、5 和 6 号顶点中,选出离 1 号顶点最近的顶点,这次选择 3 号顶点。此时,dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对 3 号顶点的所有出边(3->5)进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为:
继续在剩下的 5 和 6 号顶点中,选出离 1 号顶点最近的顶点,这次选择 5 号顶点。此时,dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边(5->4)进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为:
最后对 6 号顶点的所有出边进行松弛。因为这个例子中 6 号顶点没有出边,因此不用处理。到此,dis 数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。
最终 dis 数组如下,这便是 1 号顶点到其余各个顶点的最短路径。
OK,现在来总结一下刚才的算法。Dijkstra算法的基本思想是:每次找到离源点(上面例子的源点就是 1 号顶点)最近的一个顶点,然后以该顶点为中心进行扩展,最终得到源点到其余所有点的最短路径。
基本步骤如下:
① 将所有的顶点分为两部分:已知最短路程的顶点集合 P 和未知最短路径的顶点集合 Q。最开始,已知最短路径的顶点集合 P 中只有源点一个顶点。我们这里用一个 book[i] 数组来记录哪些点在集合 P 中。例如对于某个顶点 i,如果 book[i] 为 1 则表示这个顶点在集合 P 中,如果 book[i] 为 0 则表示这个顶点在集合 Q 中。【初始化book标记】
② 设置源点 s 到自己的最短路径为 0 即 dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点 i,则把 dis[i] 设为 e[s] [i] 。同时把所有其它(源点不能直接到达的)顶点的最短路径为设为 ∞ 。【初始化dis距离表】
③ 在集合 Q 的所有顶点中选择一个离源点 s 最近的顶点 u(即 dis[u] 最小)加入到集合 P。并考察所有以点 u 为起点的边,对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从 u 到 v 的边,那么可以通过将边 u->v 添加到尾部来拓展一条从 s 到 v 的路径,这条路径的长度是 dis[u]+e[u] [v]。如果这个值比目前已知的 dis[v] 的值要小,我们可以用新值来替代当前 dis[v] 中的值。【取dis最小(访问过的除外),边松弛】【核心】
④ 重复第 ③ 步,如果集合 Q 为空,算法结束。最终 dis 数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。
关于Dijkstra的两个问题:
在博客中看到两个比较有趣的问题,也是在学习Dijkstra时,可能会有疑问的问题。
- 问题一:边权≠边长
当我们看到上面这个图的时候,凭借多年对平面几何的学习,会发现在“三角形ABC”中,满足不了构成三角形的条件(任意两边之和大于第三边)。纳尼,那为什么图中能那样子画?
还是“三角形ABC”,以A为起点,B为终点,如果按照平面几何的知识,“两点之间线段最短”,那么,A到B的最短距离就应该是6(线段AB),但是,实际上A到B的最短距离却是3+2=5。这又怎么解释?
其实,之所以会有上面的疑问,是因为对边的权值和边的长度这两个概念的混淆, 。之所以这样画,也只是为了方便理解(每个人写草稿的方式不同,你完全可以用别的方式表示,只要便于你理解即可)。
- 问题二:可以完美地扫到图中每个点
按照Dijkstra算法,是可以完美地扫到图中地每一个点地,倘若你不确定这一点,可以自己再手动模拟一下该算法的过程,相信你会收获颇丰。
代码实现:
通过邻接矩阵的Dijkstra时间复杂度是。
对于边数少于的稀疏图来说(我们把的图称为稀疏图,而相对较大的图称为稠密图),我们可以用邻接表来代替邻接矩阵,使得整个时间复杂度优化到。
请注意!在最坏的情况下就是,这样的话要比还要大。但是大多数情况下并不会有那么多边,因此要比小很多。
【邻接矩阵实现Dijkstra】
// Dijkstra邻接矩阵
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;// 正无穷
const int Maxsize=1e3+5;// 顶点数
int e[Maxsize][Maxsize];// 邻接矩阵
int book[Maxsize];// 标记
int dis[Maxsize];// 距离表
int n,m;// n:节点;m:边
int v1,v2,w;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
// 初始化邻接矩阵
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j)e[i][j]=0;
else e[i][j]=INF;
}
}
// input vex,arc
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&v1,&v2,&w);
e[v1][v2]=w;
}
// init dis
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dis[i]=e[1][i];
}
// init book
for(int i=1;i<=n;i++)book[i]=0;
book[1]=1;// 程序以源点为 1来举例
for(int i=1;i<=n-1;i++)// n-1次循环,而非n次循环(因为 1节点自身已确定)
{
// 找到距离1号顶点最近的顶点(min_index)
int min_num=INF;
int min_index=0;
for(int k=1;k<=n;k++)// n次循环
{
if(min_num>dis[k] && book[k]==0)
{
min_num=dis[k];
min_index=k;
}
}
book[min_index]=1;// 标记
for(int j=1;j<=n;j++)
{
// 节点 min__index =》j 有边
if(e[min_index][j]<INF)
{
// 加入之后使得距离变得更短
// 可以写为 dis[j]=min(dis[j],dis[min_index]+e[min_index][j]);
if(dis[j]>dis[min_index]+e[min_index][j])
{
dis[j]=dis[min_index]+e[min_index][j];
}
}
}
}
// print
for(int i=1;i<=n;i++)
{
printf("%d ",dis[i]);
}
puts("");// 换行
return 0;
}
【(数组)邻接表实现Dijkstra】
PS:数组实现邻接表可能较难理解,可以看一下这里
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int VMaxsize=1e3+5;// 顶点数
const int AMaxsize=1e6;// 边数
int n,m;// n:顶点数;m:边数
int v1[AMaxsize],v2[AMaxsize],w[AMaxsize];
int first[VMaxsize];
int next[VMaxsize];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
// init first
for(int i=1;i<=n;i++)first[i]=-1;
//【core code】
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&v1[i],&v2[i],&w[i]);
next[i]=first[v1[i]];
first[v1[i]]=i;
}
// 遍历
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int temp=first[i];
while(temp!=-1)
{
printf("%d->%d : %d\n",v1[i],v2[i],w[i]);
temp=next[temp];
}
}
return 0;
}
Dijkstra算法是一种基于贪心策略的算法。每次新扩展一个路程最短的点,更新与其相邻的点的路程。当所有边权都为正时,由于不会存在一个路程更短的没扩展过的点,所以这个点的路程永远不会再被改变,因而保证了算法的正确性。
根据这个原理,用Dijkstra算法求最短路径的图不能有负权边,因为扩展到负权边的时候会产生更短的路径,有可能破坏了已经更新的点路径不会发生改变的性质。
那么,有没有可以求带负权边的指定顶点到其余各个顶点的最短路径算法(即“单源最短路径”问题)呢?答案是有的,Bellman-Ford算法就是一种。(我们已经知道了Floyd-Warshall可以解决“多源最短路”问题,也要求图的边权均为正)
通过邻接矩阵的Dijkstra时间复杂度是。其中每次找到离 1 号顶点最近的顶点的时间复杂度是 O(N),这里我们可以用优先队列(堆)来优化,使得这一部分的时间复杂度降低到。这个我们将在后面讨论。
作者:0与1的邂逅
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