有向图子图 DAG 数量
考虑 \(\tt DP\),朴素的想法是令 \(f_S\) 表示 \(S\) 这个导出子图将边定向集合构成 \(\tt DAG\) 的方案数。
转移可以考虑剥去所有入度为 \(0\) 的点,那么我们就需要得到仅存在 \(T\) 这个子集为 \(S\) 中入度为 \(0\) 的点的方法。
直接做是困难的,考虑容斥。
强制钦定 \(T\) 这个子集为 \(S\) 中入度为 \(0\) 的点,其他的点不管,\(T \rightarrow S - T\) 的边显然可以连或不连,而 \(S - T \rightarrow T\) 中间的边必须强制不连,这样可以得到转移:
\]
令 \(q_T = 2 ^ {ways(T, S - T)} \times f_{S - T}\),令 \(S\) 中恰好仅有 \(T\) 做为入度为 \(0\) 的点的方案为 \(p_T\),那么有:
\]
根据二项式反演的集合形式,有:
\]
在本题中,我们需要求:
& \sum\limits_{T \subseteq S, T \ne \varnothing} p_T \\
&= \sum\limits_{T \subseteq S, T \ne \varnothing} \sum\limits_{T \subseteq R, R \subseteq S} (-1) ^ {|R| - |T|} q_R \\
&= \sum\limits_{T \subseteq S} (-1) ^ {|T| - 1} q_T
\end{aligned}
\]
因此有 \(f\) 的转移:
\]
此时只要处理出 \(ways(T, S - T)\) 即可做到 \(\mathcal{O}(3 ^ n)\)。
对于每个 \(S\),我们考虑单独计算 \(ways(T, S - T)(T \subseteq S)\),将其简写为 \(w_T\)。
对 \(w_T\) 进行 \(\tt DP\),显然每次只需取出一个在 \(T\) 中的点进行转移即可,可以使用 \(\mathtt{lowbit}, \mathcal{O}(1)\) 取出。
转移只需预处理出 \(w1_{i, S}, w2_{i, S}\) 分别表示 \(i \rightarrow S\) 中的边数和 \(S \rightarrow i\) 中的边数即可,这部分直接暴力。
于是本题可以做到时间复杂度 \(\mathcal{O}(3 ^ n)\),空间复杂度 \(\mathcal{O}(n \times 2 ^ n)\)。
有向图子图 DAG 数量的更多相关文章
- 静态频繁子图挖掘算法用于动态网络——gSpan算法研究
摘要 随着信息技术的不断发展,人类可以很容易地收集和储存大量的数据,然而,如何在海量的数据中提取对用户有用的信息逐渐地成为巨大挑战.为了应对这种挑战,数据挖掘技术应运而生,成为了最近一段时期数据科学的 ...
- COGS 有标号的DAG/强连通图计数
COGS索引 一堆神仙容斥+多项式-- 有标号的DAG计数 I 考虑\(O(n^2)\)做法:设\(f_i\)表示总共有\(i\)个点的DAG数量,转移考虑枚举DAG上所有出度为\(0\)的点,剩下的 ...
- 算法精解:DAG有向无环图
DAG是公认的下一代区块链的标志.本文从算法基础去研究分析DAG算法,以及它是如何运用到区块链中,解决了当前区块链的哪些问题. 关键字:DAG,有向无环图,算法,背包,深度优先搜索,栈,BlockCh ...
- 《编译原理》画 DAG 图与求优化后的 4 元式代码- 例题解析
<编译原理>画 DAG 图与求优化后的 4 元式代码- 例题解析 DAG 图(Directed Acylic Graph)无环路有向图 (一)基本块 基本块是指程序中一顺序执行的语句序列, ...
- [转帖]算法精解:DAG有向无环图
算法精解:DAG有向无环图 https://www.cnblogs.com/Evsward/p/dag.html DAG是公认的下一代区块链的标志.本文从算法基础去研究分析DAG算法,以及它是如何运用 ...
- P6295 有标号 DAG 计数
P6295 有标号 DAG 计数 题意 求 \(n\) 个点有标号弱联通 DAG 数量. 推导 设 \(f_i\) 表示 \(i\) 个点有标号 DAG 数量(不保证弱联通),有: \[f(i)=\s ...
- P6295-有标号 DAG 计数【多项式求逆,多项式ln】
正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6295 题目大意 求所有\(n\)个点的弱联通\(DAG\)数量. \(1\leq n\leq 10^5\) 解题 ...
- [转]综述论文翻译:A Review on Deep Learning Techniques Applied to Semantic Segmentation
近期主要在学习语义分割相关方法,计划将arXiv上的这篇综述好好翻译下,目前已完成了一部分,但仅仅是尊重原文的直译,后续将继续完成剩余的部分,并对文中提及的多个方法给出自己的理解. _论文地址:htt ...
- 综述论文翻译:A Review on Deep Learning Techniques Applied to Semantic Segmentation
近期主要在学习语义分割相关方法,计划将arXiv上的这篇综述好好翻译下,目前已完成了一部分,但仅仅是尊重原文的直译,后续将继续完成剩余的部分,并对文中提及的多个方法给出自己的理解. 论文地址:http ...
随机推荐
- ZFNet: Visualizing and Understanding Convolutional Networks
目录 论文结构 反卷积 ZFnet的创新点主要是在信号的"恢复"上面,什么样的输入会导致类似的输出,通过这个我们可以了解神经元对输入的敏感程度,比如这个神经元对图片的某一个位置很敏 ...
- C++string字符串截取其中元素 截取定位字符串
#include <iostream> #include <string> using namespace std; /** * 截取str后的元素 * @param stre ...
- Java+HTML5 试题 云南农业职业技术学院 - 互联网技术学院
摸底测试 100题_共100.00分_及格60.00分 第1题 [单选题][1.00分][概念理解] 执行完下面程序片段后, ( )的结论是正确的. int a, b, c; a = 1; b = ...
- mysql语句2-单表查询
mysql 查询以及多表查询 以下所有表格样例都采用下边这个表格 mysql> select * from benet; +------+------+----------+ | id | ...
- shell 之 循环执行某操作
需求: 按月执行201904到202010的py脚本. 代码如下: #!/bin/bash i=201904 # 定义开始月份 while [ $i -le 202010 ] # 当i小于等于2020 ...
- gradle学习(一)
projects和tasks 任何一个Gradle构建都是由一个或者多个project组成 每个project都有多个tasks构成 每个task都代表了构建执行过程中的一个原子性操作.例如 编译 打 ...
- Object.keys()方法 返回对象属性数组
MDN语法 Object.keys(obj) 参数obj:要返回其枚举自身属性的对象. 返回值:一个表示给定对象的所有可枚举属性的字符串数组. 1.传入一个对象,返回的的是所有属性值 var obj2 ...
- 2018HPU暑期集训第四次积分训练赛 K - 方框 题解(图形打印)
思路分析:题目已经明确透露了这道题的解法:就是画框.当 输入的边长 的话,就表示可以在内层继续嵌套一个方框.废话就不多说了,直接上代码吧! 代码如下: #include <iostream&g ...
- 最完整的springboot2.2.x.RELEASE整合springDataElasticsearch 7.6.2
本文使用内容 springBoot2.2.5.RELEASE版本 Elasticsearch7.6.2 linux版本的 SpringDataElasticSearch与Springb ...
- RootersCTF2019 I ♥ Flask
最近也是一直在做ssti方面的题目,我发现了两款比较好用的工具,一个是arjun(用来探测参数),另一个是Tplmap(用来探测ssti漏洞),我们这里以一道题目为例来演示一下 题目 我们拿到题目 分 ...