洛谷3288 SCOI2014方伯伯运椰子(分数规划+spfa)

纪念博客又一次爆炸了

首先，对于本题中，我们可以发现，保证存在正整数解，就表示一定费用会降低。又因为一旦加大的流量，费用一定会变大，所以总流量一定是不变的

那么我们这时候就需要考虑一个退流的过程

对于原图每一条\(u->v，c>0\)的边，我们在新图中建一条\(v->u，价值是a-d\)

表示退这个流要花费的费用，相当于退流的过程

对于原图任意一条\(u->v\)的边，我们在新图中建一条\(u->v，价值是b+d\)的边，相当于扩流的过程

那么只有成环的时候，才能满足流量平衡这个条件。

正好和消圈定理相类似

所谓消圈定理
就是在某个流 f 中，如果其对应的残余网络没有负圈（剩余流量为 0 的边视为不存在）
那它一定就是当前流量下的最小费用流。
反之亦然。
即「f 是最小费用流等价于其残余网络中没有负圈」。

那根据题目要求的是个比例，那我们一定是只修改最大的那个环就行。

那么我们考虑分数规划一下

二分\(mid <= max(\frac{x-y}{k})\)

\[mid\times k\le x-y
\]

\[mid\times k + (y-x) \le 0
\]

由于在一个环中，k就是这个环的大小，我们可以考虑把每个\(mid\)分配到每个边，也就是转化成了

每条边的权值在原来新图的基础上\(+mid\)，然后\(check\)是否存在负（0）环

这时候直接上\(spfa\)就好，

不过之前的问题转化，还是很有难度啊

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk makr_pair
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}
const int maxn = 50010;
const int maxm = 1e6+1e2;
struct Node{
 int u,v,a,b,c,d;
};
Node a[maxn];
int point[maxn],nxt[maxm],to[maxm];
int inque[maxn];
int vis[maxn];
double val[maxm];
queue<int> q;
int cnt,n,m;
double dis[maxn];
int x[maxm],y[maxm];
double w[maxm];
double l=0,r=1e9;
int tmp;
double ans;
bool flag;
int s,t;
void addedge(int x,int y,double w)
{
 //cout<<x<<" "<<y<<" "<<w<<endl;
 nxt[++cnt]=point[x];
 to[cnt]=y;
 val[cnt]=w;
 point[x]=cnt;
}
void spfa(int s)
{
 while (!q.empty()) q.pop();
    for (int i=1;i<=n;i++) dis[i]=1e9;
 memset(inque,0,sizeof(inque));
 memset(vis,0,sizeof(vis));
 dis[s]=0;
 inque[s]=1;
 q.push(s);
 while (!q.empty())
 {
  int x=q.front();
  q.pop();
  vis[x]=0;
  inque[x]++;
  if (inque[x]>=n+1)
  {
   flag=true;
   return;
  }
  //cout<<1<<endl;
  for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
  {
   int p =  to[i];
   if (dis[p]>=dis[x]+val[i])
   {
    dis[p]=dis[x]+val[i];
    if (!vis[p])
    {
     q.push(p);
     vis[p]=1;
    }
   }
  }
 }
}
bool check(double mid)
{
 cnt=0;
 flag=false;
 memset(point,0,sizeof(point));
 for (int i=1;i<=tmp;i++)
   addedge(x[i],y[i],w[i]+mid);
    spfa(n-1);
    if (flag) return true;
    else return false;
}
int main()
{
  n=read(),m=read();
  n+=2;
  for (int i=1;i<=m;i++)
  {
     int u=read(),v=read(),a=read(),b=read(),c=read(),d=read();
   ++tmp;
   x[tmp]=u;
   y[tmp]=v;
   w[tmp]=b+d;
   if (c>0)
   {
    ++tmp;
    x[tmp]=v;
    y[tmp]=u;
    w[tmp]=a-d;
   }
  }
 // cout<<check(103)<<endl;
 // return 0;
  while (r-l>1e-3){
   double mid = (l+r)/2;
   if (check(mid)) ans=mid,l=mid;
   else r=mid;
  }
  printf("%.2lf\n",ans);
  return 0;
}