基本介绍

  Levenshtein距离是一种计算两个字符串间的差异程度的字符串度量(string metric)。我们可以认为Levenshtein距离就是从一个字符串修改到另一个字符串时,其中编辑单个字符(比如修改、插入、删除)所需要的最少次数。俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein于1965年提出了这一概念。

简单例子

  从字符串“kitten”修改为字符串“sitting”只需3次单字符编辑操作,如下:

    • sitten ( k -> s )
    • sittin ( e -> i )
    • sitting ( _ -> g )

  因此“kitten”和“sitting”的Levenshtein距离为3。

实现思想

  如何编程实现这一算法呢?许多人试图用矩阵来解释,但实际上矩阵是最终可视化的工具,配合理解“为什么”比较方便,但从矩阵却比较难想到“怎么做”。

  我们试图找到“从字符串$A$修改到字符串$B$”这一问题的子解结构。当然反过来说“从字符串$B$修改到字符串$A$”和它是同一个问题,因为从$A$中删掉一个字符来匹配$B$,就相当于在$B$中插入一个字符来匹配$A$,这两个操作是可以互相转化的。

  假设字符序列$A[1\ldots i]$、$B[1\ldots j]$分别是字符串$A$、$B$的前$i$、$j$个字符构成的子串,我们得到一个子问题是“从字符串$A[1\ldots i]$修改到字符串$B[1\ldots j]$”:$$\left[\begin{matrix}\begin{aligned}&A:&&A[1]&&A[2]&&\cdots&&A[i-2]&&A[i-1]&&A[i]\\\\&B:&&B[1]&&B[2]&&\cdots&&B[j-2]&&B[j-1]&&B[j]\end{aligned}\end{matrix}\right]$$

  ① 插入操作

    • 当将$A[1\ldots i]$修改成$B[1\ldots j-1]$需要操作数为$op_1$,那么我插入一个字符$A[i']=B[j]$到$A[i]$和$A[i+1]$之间,用以匹配$B[j]$,于是$A[1\ldots i]$修改到$B[1\ldots j]$所需操作数为$op_1+1$。$$\left[\begin{matrix}\begin{aligned}&&\cdots&&\color{Red}{A[i-2]}&&\color{Red}{A[i-1]}&&\mathbf{\color{Red}{A[i]}}&&\mathbf{\color{Blue}{A[i']}}&&\\\\&&\cdots&&\color{Red}{B[j-2]}&&\mathbf{\color{Red}{B[j-1]}}&&\mathbf{\color{Blue}{B[j]}}&&\phi&&\end{aligned}\end{matrix}\right]$$

  ② 删除操作

    • 当将$A[1\ldots i-1]$修改成$B[1\ldots j]$需要操作数为$op_2$,那么我删掉字符$A[i]$也可以$op_2+1$的操作数使两个子字符串匹配:$$\left[\begin{matrix}\begin{aligned}&&\cdots&&\color{Red}{A[i-2]}&&\mathbf{\color{Red}{A[i-1]}}&&\mathbf{\color{Blue}{\phi}}&&\\\\&&\cdots&&\color{Red}{B[j-2]}&&\color{Red}{B[j-1]}&&\mathbf{\color{Red}{B[j]}}&&\end{aligned}\end{matrix}\right]$$

  ③ 修改操作

    • 如果$A[1\ldots i-1]$修改成$B[1\ldots j-1]$所需操作数为$op_3$的话,我将字符$A[i]$替换成$A[i']=B[j]$,就可以$op_3+1$的操作数完成:$$\left[\begin{matrix}\begin{aligned}&&\cdots&&\color{Red}{A[i-2]}&&\mathbf{\color{Red}{A[i-1]}}&&\mathbf{\color{Blue}{A[i']}}&&\\\\&&\cdots&&\color{Red}{B[j-2]}&&\mathbf{\color{Red}{B[j-1]}}&&\mathbf{\color{Blue}{B[j]}}&&\end{aligned}\end{matrix}\right]$$
    • 但如果此时字符$A[i]==B[j]$的话,则不需要进行修改操作,操作数仍为$op_3$。

  综上所述,我们将字符串$A[1\ldots i]$修改成字符串$B[1\ldots j]$所需操作为$min\{op_1+1,\ op_2+1,\ op_3+1_{(a_i\neq b_i)}\}$,其中$1_{(a_i\neq b_i)}$代表当$a_i\neq b_i$时取值$1$,否则取值为$0$。

数学定义

  数学上,我们定义两个字符串$A$和$B$间的Levenshtein距离为$lev_{A,\ B}(a,\ b)$,其中$a$、$b$分别为字符串$A$、$B$的长度,而$$lev_{A,\ B}(i,\ j)=\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}&i&&,\ j=0\\&j&&,\ i=0\\&min\left\{\begin{matrix}lev_{a,\ b}(i,\ j-1)+1\\lev_{a,\ b}(i-1,\ j)+1\\lev_{a,\ b}(i-1,\ j-1)+1_{(a_i\neq b_i)}\end{matrix}\right.&&,\ otherwise\end{aligned}\end{matrix}\right.$$

  更多请参考 Wikipedia - Levenshtein_distance

C++代码

  有了状态转移方程,我们就可以愉快地DP了,时间复杂度$O(MN)$,空间复杂度$O(MN)$。

 #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using std::min;
int lena, lenb;
char a[], b[];
void read() {
scanf("%s%s", a, b);
lena = strlen(a);
lenb = strlen(b);
} int dp[][];
void work() {
for(int i=; i<=lena; i++) dp[i][] = i;
for(int j=; j<=lenb; j++) dp[][j] = j;
for(int i=; i<=lena; i++)
for(int j=; j<=lenb; j++)
if(a[i-]==b[j-])
dp[i][j] = dp[i-][j-];
else
dp[i][j] = min(dp[i-][j-], min(dp[i][j-], dp[i-][j]))+;
printf("%d\n", dp[lena][lenb]);
} int main() {
read();
work();
return ;
}

几个小优化

  1. 如果满足$A[i]==B[j]$(下标从$1$开始),实际上是可以直接取$lev(i,\ j)=lev(i-1,\ j-1)$的。因为此时字符相同是不需要任何编辑操作的。这一优化也可以从上文转移方程中构造不等关系得出。

  2. 如果使用滚动数组,则空间复杂度可以降到$O(2*max\{M,\ N\})$。但也可以通过保存$lev(i-1,\ j-1)$来把空间复杂度降到$O(max\{M,\ N\})$,如下:

 int dp[];
void work() {
for(int j=; j<=lenb; j++) dp[j] = j;
int t1, t2;
for(int i=; i<=lena; i++) {
t1 = dp[]++;
for(int j=; j<=lenb; j++) {
t2 = dp[j];
if(a[i-]==b[j-])
dp[j] = t1;
else
dp[j] = min(t1, min(dp[j-], dp[j]))+;
t1 = t2;
}
}
printf("%d\n", dp[lenb]);
}

以上即为Levenshtein距离算法的基本介绍,如果您喜欢,请点个推荐吧~如果您有宝贵意见,欢迎在下方评论区提出哦~

本文基于知识共享署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际许可协议发布,欢迎引用、转载或演绎,但是必须保留本文的署名BlackStorm以及本文链接http://www.cnblogs.com/BlackStorm/p/5400809.html,且未经许可不能用于商业目的。如有疑问或授权协商请与我联系

字符串编辑距离(Levenshtein距离)算法的更多相关文章

  1. Levenshtein Distance莱文斯坦距离算法来计算字符串的相似度

    Levenshtein Distance莱文斯坦距离定义: 数学上,两个字符串a.b之间的莱文斯坦距离表示为levab(|a|, |b|). levab(i, j) = max(i, j)  如果mi ...

  2. Levenshtein字符串距离算法介绍

    Levenshtein字符串距离算法介绍 文/开发部 Dimmacro KMP完全匹配算法和 Levenshtein相似度匹配算法是模糊查找匹配字符串中最经典的算法,配合近期技术栏目关于算法的探讨,上 ...

  3. Levenshtein Distance算法(编辑距离算法)

    编辑距离 编辑距离(Edit Distance),又称Levenshtein距离,是指两个字串之间,由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数.许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符,插入一个字符, ...

  4. 字符串相似度算法——Levenshtein Distance算法

    Levenshtein Distance 算法,又叫 Edit Distance 算法,是指两个字符串之间,由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数.许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符,插入一 ...

  5. 字符串相似度算法-LEVENSHTEIN DISTANCE算法

    Levenshtein Distance 算法,又叫 Edit Distance 算法,是指两个字符串之间,由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数.许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符,插入一 ...

  6. 51nod 1183 - 编辑距离 - [简单DP][编辑距离问题][Levenshtein距离问题]

    题目链接:https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1183 编辑距离,又称Levenshtein距离(也叫做Edi ...

  7. 动态规划 001 - 编辑距离(Levenshtein Distance)问题

    问题 字符串的编辑距离也被称为距Levenshtein距离(Levenshtein Distance),属于经典算法,常用方法使用递归,更好的方法是使用动态规划算法,以避免出现重叠子问题的反复计算,减 ...

  8. 字符串编辑距离(Edit Distance)

    一.问题描述定义字符串编辑距离(Edit Distance),是俄罗斯科学家 Vladimir Levenshtein 在 1965 年提出的概念,又称 Levenshtein 距离,是指两个字符串之 ...

  9. 编辑距离及其动态规划算法(Java代码)

    编辑距离概念描述 编辑距离,又称Levenshtein距离,是指两个字串之间,由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数.一般情况下编辑操作包括: 将一个字符替换成另一个字符: 插入一个字符: 删除一个字 ...

随机推荐

  1. Linux平台 Oracle 11gR2 RAC安装Part1:准备工作

    一.实施前期准备工作 1.1 服务器安装操作系统 1.2 Oracle安装介质 1.3 共享存储规划 1.4 网络规范分配 二.安装前期准备工作 2.1 各节点系统时间校对 2.2 各节点关闭防火墙和 ...

  2. 【分布式】Zookeeper会话

    一.前言 前面分析了Zookeeper客户端的细节,接着继续学习Zookeeper中的一个非常重要的概念:会话. 二.会话 客户端与服务端之间任何交互操作都与会话息息相关,如临时节点的生命周期.客户端 ...

  3. C# listview 单击列头实现排序 <二>

    单击列头实现排序,首先在羡慕中添加下面的帮助实现的类:具体的代码: using System; using System.Collections; using System.Windows.Forms ...

  4. form表单的字符串进行utf-8编码

    <form>表单有assept-charset属性.该属性规定字符的编码方式,默认是"unknown",与文档的字符集相同. 该属性除了Internet explore ...

  5. “RazorEngine.Templating.TemplateCompilationException”类型的异常在 RazorEngine.NET4.0.dll 中发生,但未在用户代码中进行处理

    错误信息: "RazorEngine.Templating.TemplateCompilationException"类型的异常在 RazorEngine.NET4.0.dll 中 ...

  6. 文字处理控件TX Text Control的使用

    这几天一直在研究TX Text Control的使用,由于这方面的资料相对比较少,主要靠下载版本的案例代码进行研究,以及官方的一些博客案例进行学习,使用总结了一些心得,特将其总结出来,供大家分享学习. ...

  7. flask+sqlite3+echarts2+ajax数据可视化

    前提: 准备Python + Flask+Sqlite3的平台环境(windows系统) 前面一节介绍flask怎么安装了,剩下sqlite3下载后解压,然后环境变量添加解压路径就行了 附加下载地址: ...

  8. C#工业物联网和集成系统解决方案的技术路线(数据源、数据采集、数据上传与接收、ActiveMQ、Mongodb、WebApi、手机App)

    目       录 工业物联网和集成系统解决方案的技术路线... 1 前言... 1 第一章           系统架构... 3 1.1           硬件构架图... 3 1.2      ...

  9. jQuery中的$.extend方法来扩展JSON对象及合并,方便调用对象方法

    $.extend方法可以扩展JSON对象,用一个或多个其他对象来扩展一个对象,返回被扩展的对象. 例一 合并 settings 和 options,修改并返回 settings var setting ...

  10. 你必须收藏的Github技巧

    一秒钟把Github项目变成前端网站 GitHub Pages大家可能都知道,常用的做法,是建立一个gh-pages的分支,通过setting里的设置的GitHub Pages模块可以自动创建该项目的 ...