【队列】【P2827】【NOIP2016D2T3】蚯蚓

传送门

Description

本题中，我们将用符号 $\lfloor c \rfloor$ 表示对 $c$ 向下取整，例如：$\lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3$。

蛐蛐国最近蚯蚓成灾了！隔壁跳蚤国的跳蚤也拿蚯蚓们没办法，蛐蛐国王只好去请神刀手来帮他们消灭蚯蚓。

蛐蛐国里现在共有 $n$ 只蚯蚓（$n$ 为正整数）。每只蚯蚓拥有长度，我们设第 $i$ 只蚯蚓的长度为 $a_i$ ($i=1,2,\dots,n$)，并保证所有的长度都是非负整数（即：可能存在长度为 $0$ 的蚯蚓）。

每一秒，神刀手会在所有的蚯蚓中，准确地找到最长的那一只（如有多个则任选一个）将其切成两半。神刀手切开蚯蚓的位置由常数 $p$（是满足 $0 < p < 1$ 的有理数）决定，设这只蚯蚓长度为 $x$，神刀手会将其切成两只长度分别为 $\lfloor px \rfloor$ 和 $x - \lfloor px \rfloor$ 的蚯蚓。特殊地，如果这两个数的其中一个等于 $0$，则这个长度为 $0$ 的蚯蚓也会被保留。此外，除了刚刚产生的两只新蚯蚓，其余蚯蚓的长度都会增加 $q$（是一个非负整常数）。

蛐蛐国王知道这样不是长久之计，因为蚯蚓不仅会越来越多，还会越来越长。蛐蛐国王决定求助于一位有着洪荒之力的神秘人物，但是救兵还需要 $m$ 秒才能到来……（$m$ 为非负整数）

蛐蛐国王希望知道这 $m$ 秒内的战况。具体来说，他希望知道：

• $m$ 秒内，每一秒被切断的蚯蚓被切断前的长度（有 $m$ 个数）；
• $m$ 秒后，所有蚯蚓的长度（有 $n + m$ 个数）。

蛐蛐国王当然知道怎么做啦！但是他想考考你……

## Input

第一行包含六个整数 $n,m,q,u,v,t$，其中：$n,m,q$ 的意义见【问题描述】；$u,v,t$ 均为正整数；你需要自己计算 $p=u / v$（保证 $0 < u < v$）；$t$ 是输出参数，其含义将会在【输出格式】中解释。

第二行包含 $n$ 个非负整数，为 $a_1, a_2, \dots, a_n$，即初始时 $n$ 只蚯蚓的长度。

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。

## Output

第一行输出 $\left \lfloor \frac{m}{t} \right \rfloor$ 个整数，按时间顺序，依次输出第 $t$ 秒，第 $2t$ 秒，第 $3t$ 秒，……被切断蚯蚓（在被切断前）的长度。

第二行输出 $\left \lfloor \frac{n+m}{t} \right \rfloor$ 个整数，输出 $m$ 秒后蚯蚓的长度；需要按从大到小的顺序，依次输出排名第 $t$，第 $2t$，第 $3t$，……的长度。

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。即使某一行没有任何数需要输出，你也应输出一个空行。

请阅读样例来更好地理解这个格式。

Sample Input

3 7 1 1 3 1
3 3 2

Sample Output

3 4 4 4 5 5 6
6 6 6 5 5 4 4 3 2 2

Hint

保证 $1 \leq n \leq 10^5$，$0 \leq m \leq 7 \times 10^6$，$0 < u < v \leq 10^9$，$0 \leq q \leq 200$，$1 \leq t \leq 71$，$0 \leq a_i \leq 10^8$。

Solution

看看题意每次取出一堆数中最大的进行操作，貌似是个堆，直接操作的话显然复杂度爆炸。考虑优化

对于所有的蚯蚓每秒都是在增长的。所以不妨将被切的蚯蚓看做短了q。每次输出的时候加上总共伸长的长度即可。使用堆维护他们的原长度。压入堆的时候将长度-q。这样时间复杂度达到了\(IO(~mlong(m+n)~)\)期望得分在70-95之间。

考虑整个序列是满足一定单调性的。

对于一条蚯蚓\(x\)，我们将切下来的第一块叫做\(x_1\)，另一块叫做\(x_2\)。考虑有两条蚯蚓\(a,b\)，首先将\(a\)切成两节，在\(t\)秒后将\(b\)切成两节，那么\(Len_{a_1}=p*a*t,Len_{b_1}=p*b*t\)。因为\(a \geq b\)所以\(Len_{a_1}~\geq~Len_{b_1}\)。类似的可以证明另一半之间的大小关系。

通过简单的数学归纳我们可以得到，将条蚯蚓分成的两部分组成序列，序列都是具有单调性的。所以可以直接采用三个队列，分别是排序后的原长度，切得第一部分，切得第二部分，每次取出队头进行比较。就可以完成了。因为所有元素都入队出队1次。所以复杂度是\(O(n+m)\)，考虑到排序与m近似同阶，可以认为复杂度就是\(O(n+m)\)

Code

#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long int

typedef long long int ll;

namespace IO {
	char buf[50];
}

template<typename T>
inline void qr(T &x) {
	char ch=getchar(),lst=' ';
	while(ch>'9'||ch<'0') lst=ch,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	if (lst=='-') x=-x;
}

template<typename T>
inline void write(T x,const char aft,const bool pt) {
	if(x<0) {putchar('-');x=-x;}
	int top=0;
	do {
		IO::buf[++top]=x%10+'0';
		x/=10;
	} while(x);
	while(top) putchar(IO::buf[top--]);
	if(pt) putchar(aft);
}

template <typename T>
inline T mmax(const T a,const T b) {if(a>b) return a;return b;}
template <typename T>
inline T mmin(const T a,const T b) {if(a<b) return a;return b;}
template <typename T>
inline T mabs(const T a) {if(a<0) return -a;return a;}

template <typename T>
inline void mswap(T &a,T &b) {T temp=a;a=b;b=temp;}

const int maxn = 100010;

int n,m,q,u,v,t,ad;
int MU[maxn];

std::queue<double>beg,big,sml;

inline bool cmp(const int &_a,const int &_b) {
	return _a>_b;
}

int main() {
	qr(n);qr(m);qr(q);qr(u);qr(v);qr(t);
	for(rg int i=1;i<=n;++i) qr(MU[i]);
	std::sort(MU+1,MU+1+n,cmp);
	for(rg int i=1;i<=n;++i) beg.push(MU[i]);
	for(rg int i=1;i<=m;++i) {
		rg int maxx=-0x7fffffff,p=0;
		if(!beg.empty()) {
			if(beg.front()>maxx) {
				maxx=beg.front();p=1;
			}
		}
		if(!big.empty()) {
			if(big.front()>maxx) {
				maxx=big.front();p=2;
			}
		}
		if(!sml.empty()) {
			if(sml.front()>maxx) {
				maxx=sml.front();p=3;
			}
		}
		switch(p) {
			case 1:
				beg.pop();break;
			case 2:
				big.pop();break;
			case 3:
				sml.pop();break;
		}
		maxx+=ad;
		if(!(i%t)) write(maxx,' ',true);
		int _a=floor(1.0*(maxx)*u/v),_b=maxx-_a;
		_a-=ad;_b-=ad;
		big.push(_a-q);sml.push(_b-q);
		ad+=q;
	}
	putchar('\n');
	rg int ss=n+m;
	for(rg int i=1;i<=ss;++i) {
		rg int maxx=-0x7fffffff,p=0;
		if(!beg.empty()) {
			if(beg.front()>maxx) {
				maxx=beg.front();p=1;
			}
		}
		if(!big.empty()) {
			if(big.front()>maxx) {
				maxx=big.front();p=2;
			}
		}
		if(!sml.empty()) {
			if(sml.front()>maxx) {
				maxx=sml.front();p=3;
			}
		}
		switch(p) {
			case 1:
				beg.pop();break;
			case 2:
				big.pop();break;
			case 3:
				sml.pop();break;
		}
		if(!(i%t)) {
			write(maxx+ad,' ',true);
		}
	}
	putchar('\n');
	return 0;
}

Summary

1、等效思想的运用：全部增长等于单个缩短

2、局部特殊性质的发现：对于每种蚯蚓都隐含单调性