第一道自己写的FFT......

不知为啥这题在网上找不到题解......真是麻烦,害得我推了半天......

还是写个简要题解吧......

首先把S和T拆成序列,a~z分别对应成1~26,?是0,设拆成的两个序列分别为A和B。

如果从i开始可以S匹配上T,那么就有

\begin{align}\sum_{j=0}^{m-1}[|A_{i+j}-B_j|=0 \space or \space B_j=0]=m\end{align}

换一个等价写法:

\begin{align}\sum_{j=0}^{m-1}(A_{i+j}-B_j)^2 B_j=0\end{align}

求出所有i对应的值就可以得知每一位是否匹配了。

展开之后发现并没有什么用,这个式子只能$O(n^2)$计算,还不如朴素匹配呢,这玩意儿有个卵用啊(╯‵□′)╯︵┻━┻

尝试把T反转,原式变为

\begin{align}\sum_{j=0}^{m-1}(A_i-B_{m-j-1})^2 B_{m-j-1}\end{align}

展开得

\begin{align}\sum_{j=0}^{m-1}A_{i+j}^2 B_{m-j-1}-2A_{i+j}B_{m-j-1}^2+B_{m-j-1}^3\end{align}

有没有发现这个式子看着有点眼熟......

前两项下标之和都是i+m-1,因此可以看成一个卷积形式,而令最后一项再卷上一个各项全为1的序列(显然不影响结果是吧......),也是卷积,而下标之和是i+m-1,因此定义我们得到的结果为

\begin{align}C_{i+m-1}=\sum_{j=0}^{m-1}A_{i+j}^2 B_{m-j-1}-2A_{i+j}B_{m-j-1}^2+1B_{m-j-1}^3\end{align}

令$D_i=A_i^2,E_i=B_i^2,F_i=B_i^3,I_i=1$,再写成卷积形式就是

\begin{align}C=D*B-2A*E+F*I\end{align}

分别求出三个卷积之后加一下就行了,FFT加速卷积即可,复杂度$O(nlogn)$。

然而常数大如狗,跑的比bitset慢到不知哪儿去了

求出三个卷积的和之后扫一遍判断哪些i对应的$C_{i+m-1}$是0,是的话说明两串在i位置匹配,否则不匹配。

 #include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
const double pi=acos(-1.0),eps=1e-;
struct Complex{
double a,b;
Complex(double a=0.0,double b=0.0):a(a),b(b){}
Complex operator+(const Complex &x)const{return Complex(a+x.a,b+x.b);}
Complex operator-(const Complex &x)const{return Complex(a-x.a,b-x.b);}
Complex operator*(const Complex &x)const{return Complex(a*x.a-b*x.b,a*x.b+b*x.a);}
Complex &operator*=(const Complex &x){return *this=*this*x;}
}A[maxn],B[maxn],C[maxn],D[maxn],E[maxn],F[maxn],I[maxn];//D是A每项取平方,E是b每项取平方,F是b每项取立方,I是伪单位元
void FFT(Complex*,int,int);
char S[maxn],T[maxn];
int n,m,N=,ans=;
int main(){
freopen("guess.in","r",stdin);
freopen("guess.out","w",stdout);
scanf("%s%s",S,T);
n=strlen(S);
m=strlen(T);
while(N<n+m)N<<=;
for(int i=;i<N;i++)I[i].a=1.0;
for(int i=;i<n;i++){
A[i].a=S[i]-'a'+;
D[i].a=A[i].a*A[i].a;
}
reverse(T,T+m);
for(int i=;i<m;i++){
B[i].a=(T[i]=='?')?:T[i]-'a'+;
E[i].a=B[i].a*B[i].a;
F[i].a=B[i].a*E[i].a;
}
FFT(A,N,);
FFT(B,N,);
FFT(D,N,);
FFT(E,N,);
FFT(F,N,);
FFT(I,N,);//woc,这么多FFT慢不慢啊
for(int i=;i<N;i++){
D[i]*=B[i];
A[i]*=E[i];
F[i]*=I[i];//printf("I[%d]=(%lf,%lf)\n",i,I[i].a,I[i].b);
}
FFT(A,N,-);
FFT(D,N,-);
FFT(F,N,-);
for(int i=;i<n;i++){
//printf("i=%d i+m-1=%d A[i+m-1]=(%lf,%lf) D[i+m-1]=(%lf,%lf) F[i+m-1]=(%lf,%lf)\n",i,i+m-1,A[i+m-1].a,A[i+m-1].b,D[i+m-1].a,D[i+m-1].b,F[i+m-1].a,F[i+m-1].b);
C[i].a=D[i].a-A[i].a*+F[i].a;
}
for(int i=;i+m<=n;i++)if(C[i+m-].a<eps)ans++;
printf("%d\n",ans);
for(int i=;i+m<=n;i++)if(C[i+m-].a<eps)printf("%d\n",i);
return ;
}
void FFT(Complex *A,int n,int tp){
for(int i=,j=,k;i<n-;i++){
k=N;
do{
k>>=;
j^=k;
}while(j<k);
if(i<j)swap(A[i],A[j]);
}
for(int k=;k<=n;k<<=){
Complex wn(cos(-tp**pi/k),sin(-tp**pi/k));
for(int i=;i<n;i+=k){
Complex w(1.0,0.0);
for(int j=;j<(k>>);j++,w*=wn){
Complex a=A[i+j],b=w*A[i+j+(k>>)];
A[i+j]=a+b;
A[i+j+(k>>)]=a-b;
}
}
}
if(tp<)for(int i=;i<n;i++)A[i].a/=n;
}
/*
把T反转,把S和T变成多项式a和b,令
c[i+m-1]=sum{(a[i+j]-b[m-j-1])^2*b[m-j-1]}
显然只有c是0的位置两串才会匹配,展开得
c[i+m-1]=sum{a[i+j]^2*b[m-j-1]-2*a[i+j]*b[m-j-1]^2+b[m-j-1]^3}
前两项是卷积形式,第三项乘上一个伪单位元也是卷积形式,FFT加速即可
*/

ps:其实对$I$跑的那个DFT完全没必要,手动逐项赋成1就行了,然后发现$F$卷完了$I$根本没有什么变化,所以直接对$F$做一下DFT再IDFT回去即可,把$I$写进去只是为了理解式子方便......

UPD:脑残了……那个ps是错的,忽视掉吧……

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