【BZOJ4816】【SDOI2017】数字表格 [莫比乌斯反演]

数字表格

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Description

　　Doris刚刚学习了fibonacci数列。用f[i]表示数列的第i项，那么

　　f[0]=0

　　f[1]=1

　　f[n]=f[n-1]+f[n-2],n>=2

　　Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格，第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)]，其中gcd(i,j)表示i,j的最大公约数。Doris的表格中共有n×m个数，她想知道这些数的乘积是多少。答案对10^9+7取模。

Input

　　第一个一个数T，表示数据组数。

　　接下来T行，每行两个数n,m

Output

　　输出T行，第i行的数是第i组数据的结果

Sample Input

　　3
　　2 3
　　4 5
　　6 7

Sample Output

　　1
　　6
　　960

HINT

　　T<=1000,1<=n,m<=10^6

Solution

　　运用莫比乌斯反演，得到式子：

　　这样我们对于内外分块即可，复杂度为O(n^(0.75)*T)。

　　然后我们会发现在BZOJ上过不去，怎么办呢？卡常！BearChild运用了如下的卡常技巧：

　　　　1.  读入优化； 2. O(n)预处理逆元； 3. 内嵌汇编实现乘和取模； 4. 记录n/i，避免多次除法。

Code

 #include<iostream>
 #include<string>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 typedef long long s64;

 const int ONE = 1e6+;
 const int MOD = 1e9+;
 const int PHI = 1e9+;

 int T;
 int n,m;
 int prime[ONE],p_num,miu[ONE];
 int F[ONE];
 bool isp[ONE];
 s64 Ans;

 int get()
 {
         int res=,Q=;  char c;
         while( (c=getchar())< || c>)
         if(c=='-')Q=-;
         if(Q) res=c-;
         while((c=getchar())>= && c<=)
         res=res*+c-;
         return res*Q;
 }

 int Quickpow(int a,int b)
 {
         int res = ;
         while(b)
         {
             if(b&) res = (s64)res*a%MOD;
             a = (s64)a*a%MOD;
             b>>=;
         }
         return res;
 }

 void Deal_first(int MaxN)
 {
         F[]=;
         F[]=; for(int i=; i<=MaxN; i++) F[i] = ((s64)F[i-]+F[i-]) % MOD;
         F[]=; for(int i=; i<=MaxN; i++) F[i] = (s64)F[i]*F[i-] % MOD;

         miu[] = ;
         for(int i=; i<=MaxN; i++)
         {
             if(!isp[i])
                 prime[++p_num] = i, miu[i] = -;
             for(int j=; j<=p_num, i*prime[j]<=MaxN; j++)
             {
                 isp[i * prime[j]] = ;
                 if(i % prime[j] == )
                 {
                     miu[i * prime[j]] = ;
                     break;
                 }
                 miu[i * prime[j]] = -miu[i];
             }
             miu[i] += miu[i-];
         }
 }

 int f(int n,int m)
 {
         if(n > m) swap(n,m);
         s64 Ans = ;
         for(int i=,j=; i<=n; i=j+)
         {
             j = min(n/(n/i), m/(m/i));
             Ans += (s64)(n/i) * (m/i)%PHI * ((s64)(miu[j] - miu[i-] + PHI)%PHI) % PHI;
             Ans %= PHI;
         }
         return Ans;
 }

 void Solve()
 {
         n=get();    m=get();
         if(n > m) swap(n,m);
         Ans = ;
         for(int i=,j=; i<=n; i=j+)
         {
             j = min(n/(n/i), m/(m/i));
             Ans = Ans * Quickpow( (s64)F[j] * Quickpow(F[i-],MOD-) % MOD , f(n/i,m/i) % PHI) % MOD;
         }
         printf("%lld\n",Ans);
 }

 int main()
 {
         Deal_first(ONE-);
         T = get();
         while(T--)
             Solve();
         return ;
 }

非卡常版

 #include<iostream>
 #include<string>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 typedef long long s64;

 const int ONE = 1e6+;
 const int MOD = 1e9+;
 const int PHI = 1e9+;

 int T;
 int n,m;
 int prime[ONE],p_num,miu[ONE];
 int Niyu[ONE];
 int F[ONE];
 bool isp[ONE];
 int Ans;

 inline int get()
 {
         int res=,Q=;  char c;
         while( (c=getchar())< || c>)
         if(c=='-')Q=-;
         if(Q) res=c-;
         while((c=getchar())>= && c<=)
         res=res*+c-;
         return res*Q;
 }

 inline int modmul(const int &a, const int &b,const int &M)
 {
         int ret;
         __asm__ __volatile__("\tmull %%ebx\n\tdivl %%ecx\n" : "=d"(ret) : "a"(a), "b"(b), "c"(M));
         return ret;
 }

 inline int Quickpow(int a,int b)
 {
         int res = ;
         while(b)
         {
             if(b&) res = modmul(res,a,MOD);
             a = modmul(a,a,MOD);
             b>>=;
         }
         return res;
 }

 inline void Deal_first(int MaxN)
 {
         F[]=; F[]=;
         int val=;
         for(int i=; i<=MaxN; i++)
         {
             F[i] = F[i-]+F[i-];
             if(F[i] >= MOD) F[i] -= MOD;
             val = modmul(val,F[i],MOD);
         }
         Niyu[MaxN] = Quickpow(val, MOD-);
         for(int i=MaxN-;i>=;i--) Niyu[i] = modmul(Niyu[i+],F[i+],MOD);
         Niyu[] = Niyu[]; F[]=;
         for(int i=; i<=MaxN; i++) F[i] = modmul(F[i],F[i-],MOD);

         miu[] = ;
         for(int i=; i<=MaxN; i++)
         {
             if(!isp[i])
                 prime[++p_num] = i, miu[i] = -;
             for(int j=; j<=p_num, i*prime[j]<=MaxN; j++)
             {
                 isp[i * prime[j]] = ;
                 if(i % prime[j] == )
                 {
                     miu[i * prime[j]] = ;
                     break;
                 }
                 miu[i * prime[j]] = -miu[i];
             }
             miu[i] += miu[i-];
         }
 }

 inline int f(int n,int m)
 {
         if(n > m) swap(n,m);
         int Ans = ;
         for(int i=,j=; i<=n; i=j+)
         {
             int x=n/i, y=m/i;
             j = min(n/x, m/y);
             Ans = ((s64)Ans + modmul(modmul(x,y,PHI) , ((s64)miu[j] - miu[i-] + PHI), PHI) )%PHI;
         }
         return Ans;
 }

 inline void Solve()
 {
         n=get();    m=get();
         if(n > m) swap(n,m);
         Ans = ;
         for(int i=,j=; i<=n; i=j+)
         {
             int x=n/i, y=m/i;
             j = min(n/x, m/y);
             Ans = (s64)modmul(Ans , Quickpow( modmul(F[j],Niyu[i-],MOD) , f(x,y)), MOD);
         }
         printf("%d\n",Ans);
 }

 int main()
 {
         Deal_first(ONE-);
         T = get();
         while(T--)
             Solve();
         return ;
 }

卡常版