洛谷2344 奶牛抗议

本题地址:http://www.luogu.org/problem/show?pid=2344

题目背景

Generic Cow Protests, 2011 Feb

题目描述

约翰家的N 头奶牛正在排队游行抗议。一些奶牛情绪激动,约翰测算下来,排在第i 位的奶牛的理智度为Ai,数字可正可负。
约翰希望奶牛在抗议时保持理性,为此,他打算将这条队伍分割成几个小组,每个抗议小组的理智度之和必须大于或等于零。奶牛的队伍已经固定了前后顺序,所以不能交换它们的位置,所以分在一个小组里的奶牛必须是连续位置的。除此之外,分组多少组,每组分多少奶牛,都没有限制。
约翰想知道有多少种分组的方案,由于答案可能很大,只要输出答案除以1000000009 的余数即可。

输入输出格式

输入格式:

• 第一行:单个整数N,1 ≤ N ≤ 100000
• 第二行到第N + 1 行:第i + 1 行有一个整数Ai,−10^5 ≤ Ai ≤ 10^5

输出格式:

单个整数:表示分组方案数模1000000009 的余数

输入输出样例

输入样例#1:

4
2
3
-3
1

输出样例#1:

4

说明

解释:如果分两组,可以把前三头分在一组,或把后三头分在一组;如果分三组,可以把中间两头分在一组,第一和最后一头奶牛自成一组;最后一种分法是把四头奶牛分在同一组里。

【思路】

线性DP+BIT加速+离散化。

设d[i]表示前i头奶牛的分法,则有转移方程式如下:

d[i]=sigma{ d[j]( j<i && S(j+1,i)>=0 ) }

其中sigma表示求和、S代表区间和。

如果令sum[]表示前缀和,则可以进一步得出转移条件:存在j<i且sum[j]<=sum[i]

 BIT加速:如果DP枚举到i,令C[x]表示i之前sum==x的所有d之和,则d[i]为小于sum[i]的所有d之和,可以用BIT求出小于sum[i]的区间和。

  离散化:sum的情况最多有n+1种而其范围可能很大,所以考虑对sum进行离散化。

另外有0的情况可以考虑将BIT下标进行偏移或hash到其他范围。

【代码】

 #include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
using namespace std; const int maxn = +;
const int MOD=; int sum[maxn],a[maxn];
int hash[maxn],cnt;
int n; int C[maxn],Max;
int lowbit(int x) { return x&(-x); }
int Sum(int x) {
x++;
int res=;
while(x>) {
res = (res+C[x])%MOD;
x-=lowbit(x);
}
return res;
}
void Add(int x,int v) {
x++;
while(x<=Max+) {
C[x] = (C[x]+v)%MOD;
x+=lowbit(x);
}
} int find(int x) {
return lower_bound(hash,hash+cnt+,x)-hash;
} int main() {
scanf("%d",&n);
FOR(i,,n) {
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-]+a[i];
Max=max(Max,sum[i]);
}
sort(sum,sum+n+); //将0计入
hash[]=sum[];
FOR(i,,n) if(sum[i]!=sum[i-]) {
hash[++cnt]=sum[i];
}
Add(find(),);
int tot=,ans=;
FOR(i,,n) {
tot += a[i];
ans = Sum(find(tot))%MOD;
Add(find(tot),ans);
}
printf("%d\n",ans);
return ;
}

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