LeetCode 4 - 两个排序数组的中位数 - [分治]

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/description/

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2 。

请找出这两个有序数组的中位数。要求算法的时间复杂度为 O(log (m+n)) 。

你可以假设 nums1 和 nums2 不同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
 
中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
 
中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

题解：

考虑转化为求两个有序数组的第 $k$ 小数，

不妨先假设两个有序数组的长度都是大于等于 $c = \left\lfloor {\frac{k}{2}} \right\rfloor$ 的，比较 $A[c]$ 和 $B[c]$，有两种情况：

1、$A[c] \le B[c]$，那么两个数组合并之后，若 $B[1] \sim B[c]$ 的位置越往前靠，相应的 $A[c]$ 就越会往后靠，但显然 $B[c]$ 所在位置的最靠前情况是在第 $2c \le k$ 个，那么 $A[c]$ 所在位置的最差情况就是在第 $2c-1 \le k-1$ 个，因此 $A[1] \sim A[c]$ 必然在前 $k-1$ 小的数之中，可以将 $A[1] \sim A[c]$ 截去，不影响寻找第 $k$ 小数；

2、$A[c] > B[c]$，类似于情况2，可以将 $B[1] \sim B[c]$ 截去。

若两个有序数组的长度存在小于 $c = \left\lfloor {\frac{k}{2}} \right\rfloor$ 的情况呢？首先可以确定的是，就算存在这种情况，也肯定只有其中一个的长度会小于 $c$，

不妨设是 $A$ 数组的长度小于 $c$，那么，可以比较 $A[A.size]$ 和 $B[k-A.size]$，和上面也是一样的道理。

最后处理边界情况：当 $k=1$ 的时候，返回 $A[1]$ 和 $B[1]$ 中小的那一个即可；当两个数组中有一个为空的时候，就返回另一个数组的第 $k$ 个元素。

时间复杂度：

考虑是不断地让 $k$ 除以 $2$，直到 $k=1$ 时停止，故时间复杂度 $O(\log(k)) = O(\log(len)) = O(\log(m+n))$，满足题目要求。

AC代码：

class Solution
{
public:
    int getkth(const vector<int>& nums1,int x,const vector<int>& nums2,int y,int k)
    {
        if(x>=nums1.size()) return nums2[y+k-]; //A数组为空
        if(y>=nums2.size()) return nums1[x+k-]; //B数组为空
        if(k==) return min(nums1[x],nums2[y]);
 
        int c1=min((int)nums1.size()-x,k/);
        int c2=min((int)nums2.size()-y,k/);
        if(nums1[x+c1-]<=nums2[y+c2-]) return getkth(nums1,x+c1,nums2,y,k-c1);
        else return getkth(nums1,x,nums2,y+c2,k-c2);
    }
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1,vector<int>& nums2)
    {
        int len=nums1.size()+nums2.size();
        if(len%) return getkth(nums1,,nums2,,(len+)/);
        else return (getkth(nums1,,nums2,,len/)+getkth(nums1,,nums2,,len/+))/2.0;
    }
};

这道题目，最令人震惊的是……

我新开一个vector把nums1和nums2的元素都扔进去然后sort了一下，$O(1)$ 输出中位数，明明 $O((m+n) \log(m+n))$ 的时间复杂度，居然和 $O(\log(m+n))$ 跑的一样快，都是52ms……

感觉自己搞了假的时间复杂度……

所以我开始怀疑，是不是LeetCode用了很水数据，实际上大部分时间是在其他什么地方耗费的，果然，关闭IO同步之后可以 16ms 内跑完：

static const auto io_sync_off = []()
{
    // turn off sync
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    // untie in/out streams
    std::cin.tie(nullptr);
    return nullptr;
}();
class Solution
{
public:
    inline int getkth(const vector<int>& nums1,int x,const vector<int>& nums2,int y,int k)
    {
        if(x>=nums1.size()) return nums2[y+k-]; //A数组为空
        if(y>=nums2.size()) return nums1[x+k-]; //B数组为空
        if(k==) return min(nums1[x],nums2[y]);
 
        int c1=min((int)nums1.size()-x,k/);
        int c2=min((int)nums2.size()-y,k/);
        if(nums1[x+c1-]<=nums2[y+c2-]) return getkth(nums1,x+c1,nums2,y,k-c1);
        else return getkth(nums1,x,nums2,y+c2,k-c2);
    }
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1,vector<int>& nums2)
    {
        int len=nums1.size()+nums2.size();
        if(len%) return getkth(nums1,,nums2,,(len+)/);
        else return (getkth(nums1,,nums2,,len/)+getkth(nums1,,nums2,,len/+))/2.0;
    }
};

我还同样把上面 $O((m+n) \log(m+n))$ 的那个算法关了IO同步试了一下，耗时 32ms……这个 16ms 的差距，应该即使优化复杂度的结果了吧，还算有个安慰。