【2019.3.20】NOI模拟赛

题目

这里必须标记一下那个傻逼问题，再不解决我人就没了！

先放一个 $T3$ $20$ 分暴力

 #include<bits/stdc++.h>
 #define rep(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);++i)
 #define dwn(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);--i)
 #define rep_e(i,u) for(int i=hd[u];i;i=e[i].nxt)
 #define lc tr[o].l
 #define rc tr[o].r
 #define N 100003
 #define inf 2147483647
 using namespace std;
 inline int read(){
     int x=; bool f=; char c=getchar();
     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=;
     for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<)+(x<<)+(c^'');
     if(f) return x;
     return -x;
 }
 
 int T1_ROOT=;
 int n,m,L1,R1,L2,R2,W,ans;
 
 struct edge{int u,v,w;}e[*];
 int cnt;
 inline bool cmp(edge a,edge b){return a.w<b.w;}
 
 struct Tree{int l,r,v;}tr[N*];
 int rt[N<<],tot[];
 inline int newNode(int x){return ++tot[x];}
 inline void pushdown(int o){
     if(tr[o].v){
         tr[lc].v+=tr[o].v, tr[rc].v+=tr[o].v;
         tr[o].v=;
     }
 }
 void add2(int &o,int l,int r){
     if(!o) o=newNode();
     if(L2<=l && r<=R2){tr[o].v+=W; return;}
     pushdown(o);
     int mid=(l+r)>>;
     if(L2<=mid) add2(lc,l,mid);
     if(R2>mid) add2(rc,mid+,r);
 }
 void add1(int &o,int l,int r){
     if(!o) o=newNode();
     //printf("%d %d %d %d %d\n",o,l,r,L1,R1);
     //system("pause");
     if(L1<=l && r<=R1){add2(rt[o],,n); return;}
     int mid=(l+r)>>;
     if(L1<=mid) add1(lc,l,mid);
     if(R1>mid) add1(rc,mid+,r);
 }
 int X,mat[][];
 void dfs2(int o,int l,int r){
     if(!o) return;
     if(l==r){mat[X][l]+=tr[o].v; return;}
     pushdown(o);
     int mid=(l+r)>>;
     dfs2(lc,l,mid);
     dfs2(rc,mid+,r);
 }
 void dfs1(int o,int l,int r){
     if(!o) return;
     rep(i,l,r) X=i, dfs2(rt[o],,n);
     if(l==r) return;
     int mid=(l+r)>>;
     dfs1(lc,l,mid);
     dfs1(rc,mid+,r);
 }
 /*
 struct SegTree{
     struct TREE{int l,r,v;}tr[N*90];
     int L,R,W,e[2001][2001];
 
     inline void pushdown(int o){
         if(tr[o].v){
             tr[lc].v+=tr[o].v, tr[rc].v+=tr[o].v;
             tr[o].v=0;
         }
     }
     void add(int &o,int l,int r){
         if(!o) o=newNode(1);
         if(L1<=l && r<=R1){tr[o].v+=W; return;}
         pushdown(o);
         int mid=(l+r)>>1;
         if(L1<=mid) add1(lc,l,mid);
         if(R1>mid) add1(rc,mid+1,r);
     }
     inline void add(int ver,int l,int r,int w){
         L=l, R=r, W=w; add(rt[ver],1,n);
     }
 }
 */
 int fa[N];
 int find(int x){return x==fa[x] ? x : fa[x]=find(fa[x]);}
 namespace pts20{
     void solve(){
         rep(i,,m)
             L1=read(), R1=read(), L2=read(), R2=read(), W=read(), add1(T1_ROOT,,n);
         dfs1(,,n);
         rep(i,,n)
             rep(j,i+,n)
                 e[cnt++]=(edge){i,j,mat[i][j]};
         sort(e,e+cnt,cmp);
         rep(i,,n) fa[i]=i;
         int e_cnt;
         for(int i=;i<cnt;++i){
             int fu=find(e[i].u), fv=find(e[i].v);
             //printf("zuixiao:%d %d %d\n",e[i].u,e[i].v,e[i].w);
             if(fu==fv) continue;
             fa[fv]=fu;
             ans+=e[i].w;
             ++e_cnt;
             //printf("%d %d  %d %d\n",e_cnt,n-1,i,cnt);
             if(e_cnt>=n-) break;
         }
         printf("%d\n",ans);
     }
 }
 using namespace pts20;
 /*
 int mn_o,mn_v;
 void queryMin(int o,int l,int r){
     if(!o) return;
     if(l==r){mn_o=o, mn_v=tr[o].mn; return;}
     int mid=(l+r)>>1;
     if(tr[lc].mn<=tr[rc].mn) queryMin(lc,l,mid);
     else queryMin(rc,mid+1,r);
 }
 int blo;
 */
 int main(){
     //freopen("C.in","r",stdin);
     //freopen("C.out","w",stdout);
     n=read(), m=read();
     tot[]=, tot[]=n<<;
     if(n<=) pts20::solve();
     return ;
 }
 /*
 5 4
 1 2 3 4 10
 1 1 2 2 -20
 3 3 4 4 -5
 2 2 5 5 -15
 */

写了个树套树连边，标准输入输出随便过样例，真爽。

然而加了个文件读写，测样例就输出 $-20$ 了。

我都忘了这种问题是什么情况了，考后重新输出中间结果查了一遍，发现真是石乐志。

注意第 $104$ 行，局部变量没有赋初值。没文件读写就默认把初值弄成 $0$，有文件读写就给了个随机初值。

这个问题其实大多数人都会犯，但我是真的想不起来这种错误了，先立个 $flag$，下次再出这种问题查不出来的话我得吃点什么。

---

T1

30pts

没想

50pts

我们把区间看成竖直的，第 $i$ 个区间代替成平面直角坐标系中 从 $(i,L_i)$ 到 $(i,R_i)$ 的线段。问题就成了有多少种直线能穿过所有 $n$ 条线段。

考虑暴力求斜率的上下界，然后枚举斜率，再扫一遍 $n$ 条线段，把每条直线的上下端点按斜率映射到 $y$ 轴上，最后这种斜率的直线穿过所有 $n$ 条线段的方案数 上端点映射在 $y$ 轴上的最小值 $-$ 就是下端点映射在 $y$ 轴上的最大值（这里注意特判一下，如果前者小于后者，方案数应该为 $0$）。

由斜率上下界的计算方法（见代码）可知，时间复杂度大概是 $O(线段长度 / n\times n) = O(线段长度)$。

100pts

（下标从 $0$ 开始算）

对于一条直线，我们用一个二元组 $(a,d)$ 表示，它的意义是直线与 $x=0$ 的交点的纵坐标为 $a$，直线的斜率为 $d$ 。

那对于每条直线，若其满足条件，则要满足该约束：$a∈[-id+L_i,\space -id+R_i]$

也就是 $-id+L_i\le a\le -id+R_i$

它的解的数量是一个以 $d$ 为横坐标，以 $a$ 为纵坐标的二维平面中两条直线所夹的范围内的整点数。

然后总共有 $n$ 个约束，那么就有 $2\times n$ 条直线。

解的总数就是被所有对直线夹起来的那一部分 二维平面的整点数，从图上看，它就是最里面的那一块。

半平面交？差不多就是求这种东西。

画图举例。同色线条代表一组约束，那么半平面交的部分就是中间的灰色区域。我们要求那部分面积。

求半平面交应该并不好写，但这题有个特殊性质，就是直线是一对一对地放到平面上的，我们只要分别对所有上界直线和下界直线求凸包就可以了。

补充知识：维护凸包

以上凸包为例，把所有边按斜率 $k$ 从大到小排序，用一个单调队列维护当前认为的凸包边界。比如已经往单调队列中插入 $3$ 条边的情况如下（灰色区域为凸包内部）：

插入第 $4$ 条直线（红线）时，判断单调队列最右端的两条直线的交点 与单调队列最右端一条直线与新插入的直线的交点 的横坐标，如果后者小于前者，就删掉单调队列最右端一条直线，并继续尝试往前删；否则将新插入的直线放在单调队列最右端。

结合画图可理解，因为后者小于前者时，新插入的直线与当前凸包最右边的直线的交点在凸包外，故新插入的之前在凸包范围内 会与当前凸包更靠左的直线相交（显然这样会缩小凸包），当前凸包最右边的直线就被排除到凸包外了，故删除。

下凸包同理。

求完上界的上凸包和下界的下凸包后，仔细思考一下，发现多边形无法直接计算面积，所以我们把凸包拆成若干个三角形和四边形，显然这两种图形都能计算面积。具体实现：用扫描线按横坐标从小到大扫凸包，每遇到凸包的一个拐点（不管拐点在上界还是下界），都计算一下凸包这一部分的三角形/梯形面积（具体地说就是计算点数）。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define rep(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);++i)
 #define dwn(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);--i)
 #define rep_e(i,u) for(int i=hd[u];i;i=e[i].nxt)
 #define ll long long
 #define M 200020
 #define inf 100000010
 #define maxL -inf
 #define maxR inf
 using namespace std;
 inline int read(){
     int x=; bool f=; char c=getchar();
     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=;
     for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<)+(x<<)+(c^'');
     if(f) return x;
     return -x;
 }
 int n,m,m1,m2;
 ll X[(M<<)+],c[][M],ans;
 struct line{
     ll k,b;
     line(){}
     line(ll _k,ll _b){k=_k,b=_b;}
     ll get(ll x){return k*x+b;}
 }mx[M],mn[M],s[][M];
 inline ll con(line &A,line &B){return (ll)ceil((double)(A.b-B.b)/(double)(B.k-A.k));}
 int build(line *x,line *S,ll *C){
     int top=; S[]=x[];
     rep(i,,n){
         while(top> && con(S[top],S[top-])>=con(S[top],x[i])) --top;
         S[++top]=x[i];
     }
     rep(i,,top)
         C[i]=i>?con(S[i],S[i-]):maxL, X[++m]=C[i];
     return top;
 }
 ll calc(line up,line dn,int l,int r){
     ll len=r-l;
     if(up.get(l)>=dn.get(l) && up.get(r)>=dn.get(r))
         return (up.get(l)-dn.get(l)+)*(len+)+(len*(len+)>>)*(up.k-dn.k);
     if(up.get(l)==dn.get(l) || up.get(r)==dn.get(r)) return 1ll; //构造出的任意两条直线的交点必定是个整点，所以反三角的顶点处必定是个整点
     if(up.get(l)<dn.get(l) & up.get(r)<dn.get(r)) return 0ll;
     ll pos=con(up,dn); return calc(up,dn,l,pos-)+calc(up,dn,pos,r);
 }
 void solve(){
     sort(X+,X+m+);
     for(int i=,t1=,t2=; i<=m; ++i) if(X[i]>X[i-]){
         while(t1<m1 && c[][t1+]<=X[i-]) t1++;
         while(t2<m2 && c[][t2+]<=X[i-]) t2++;
         ans+=calc(s[][t1],s[][t2],X[i-],X[i]-);
     }
 }
 int main(){
     n=read(), X[]=-maxL, X[m=]=maxR;
     int dn,up;
     rep(i,,n-){
         dn=read(), up=read();
         mx[i+]=line(-i,up), mn[i+]=line(-i,dn);
     }
     reverse(mn+,mn+n+);
     m1=build(mx,s[],c[]);
     m2=build(mn,s[],c[]);
     solve(), printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

T2

10pts

打表

100pts

这题题面出锅了，$pdf$ 开头说了下文题面不会有废话，但这题第二句实际上不但是废话还透露了题解……（虽然并不能看出来那是题解）

首先，期望 $=$ 概率 $\times$ 贡献，一个点最终的期望值，是由其它每个点由某个概率给来 $1$ 贡献得到的（也就是标记一个点时，标记点与这个点在同一连通块时才对这个点造成 $1$ 贡献，否则没有）。所以可以反过来考虑每一个点给其它点贡献的期望值，也就是造成贡献的概率。

对于一对点 $x,y$，当我们标记点 $x$ 时，只有连接两点的简单路径上没有点被标记的情况下（也就是两点在同一连通块），点 $x$ 才会对点 $y$ 造成 $1$ 贡献（同一连通块所有点点权 $+1$）。

既然连接两点的简单路径上所有点都没被标记过，那么点 $x$ 对点 $y$ 造成 $1$ 贡献的概率是 $\frac{1}{dis(x,y)+1}$。

因为在这条简单路径上的 $dis(x,y)+1$ 个点中，必须先选点 $x$ 才能对点 $y$ 造成 $1$ 贡献，若先选路径上其它一点，点 $x,y$ 就不在一个连通块，之后点 $x$ 就没法对点 $y$ 造成贡献了。

注意：$x$ 可以等于 $y$，因为标记一个点本身就会对自己造成 $1$ 贡献。

对于每一对点 $x,y$ 都是这样，所以题目要求的答案就是 $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{dis(i,j)+1}$$

也就是我们只需要统计对于 $i∈[1,n]$，求距离为 $i$ 的点对数。

一说到统计树上所有的简单路径，自然有点分治。

对于一个分治中心的两棵子树，开一个数组 $cnt$ 记录已经遍历过的子树中的点，以到重心的距离为下标，即 $cnt_i$ 表示已经遍历过的所有点中，到重心距离为 $i$ 的点数。

由于路径长度的合并性质，到重心距离分别为 $i$ 和 $j$ 的两个不同子树中的点的距离为 $i+j$，换在数组上就是 $cnt$ 数组的第 $i$ 位和第 $j$ 位的乘积存在 $ans$ 数组的第 $i+j$ 位上（$ans_i$ 表示在当前遍历过的点集中，简单路径经过当前分治中心 且距离为 $i$ 的点对的数量 ），所以用 $NTT$ 合并数组即可。

复杂度 $O(n\times log^2(n))$（点分治共 $log$ 层，每层点数总和是 $n$ 级别的，合并这些点的复杂度是 $O(n\times log(n))$）。由于 $NTT$ 的大常数，开 $3$ 秒好像很有道理。

有点恶心的题……

 #include<bits/stdc++.h>
 #define rep(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);++i)
 #define dwn(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);--i)
 #define rep_e(i,u) for(int i=hd[u];i;i=e[i].nxt)
 #define ll long long
 #define N 100003
 #define mod 998244353
 #define G 3
 using namespace std;
 inline int read(){
     int x=; bool f=; char c=getchar();
     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=;
     for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<)+(x<<)+(c^'');
     if(f) return x;
     return -x;
 }
 int n,inv[N];
 struct edge{int v,nxt;}e[N<<];
 int hd[N],cnt;
 inline void add(int u,int v){e[++cnt]=(edge){v,hd[u]}, hd[u]=cnt;}
 int siz[N],Siz,mn,root; bool vis[N];
 void getRoot(int u,int fa){
     siz[u]=; int mxson=;
     rep_e(i,u) if(!vis[e[i].v] && e[i].v!=fa){
         getRoot(e[i].v,u);
         siz[u]+=siz[e[i].v];
         mxson=max(mxson,siz[e[i].v]);
     }
     mxson=max(mxson,Siz-siz[u]);
     if(mxson<mn) mn=mxson, root=u;
 }
 int f[N],mxdis;
 void dfs(int u,int fa,int dis){
     f[dis]++, mxdis=max(mxdis,dis);
     rep_e(i,u) if(!vis[e[i].v] && e[i].v!=fa) dfs(e[i].v,u,dis+);
 }
 int r[N<<];
 int getlr(int len){
     int tmp=,_len=; for(; tmp<=len; ++_len,tmp<<=); len=_len; //之前程序跑得巨慢是因为多项式长度求错了，这行的tmp<=len写成了tmp<=cnt......
     rep(i,,tmp-) r[i]=(r[i>>]>>)|((i&)<<(len-));
     return tmp;
 }
 int Pow(ll x,int y){
     ll res=;
     while(y) {if(y&) res=res*x%mod; x=x*x%mod; y>>=;}
     return res;
 }
 void ntt(int *c,int lim,int tag){
     int i,j,k;
     for(i=;i^lim;++i) if(i<r[i]) swap(c[i],c[r[i]]);
     for(i=;i<lim;i<<=){
         int wn = Pow(tag==?G:inv[G], (mod-)/(i<<));
         for(j=;j<lim;j+=(i<<)){
             int w=, x, y;
             for(k=; k^i; ++k,w=(ll)w*wn%mod)
                 x=c[j+k], y=(ll)w*c[j+i+k]%mod, c[j+k]=(x+y)%mod, c[j+i+k]=(x-y+mod)%mod;
         }
     }
     if(tag==-){
         int invn=Pow(lim,mod-);
         rep(i,,lim-) c[i]=(ll)c[i]*invn%mod;
     }
 }
 
 int A[N<<];
 void mul(int len){
     int lim=getlr(len<<);
     rep(i,,len) A[i]=f[i]; rep(i,len+,lim-) A[i]=;
     ntt(A,lim,);
     rep(i,,lim-) A[i]=(ll)A[i]*A[i]%mod;
     ntt(A,lim,-);
     return;
 }
 int sum[N];
 void getAns(int u,int val,int dep){
     mxdis=, dfs(u,u,dep), mul(mxdis);
     rep(i,,mxdis<<) sum[i+]=(sum[i+]+(ll)A[i]*val)%mod;
     rep(i,,mxdis) f[i]=;
     return;
 }
 void calc(int u){//inclusion-exclusion
     getAns(u,,);
     rep_e(i,u) if(!vis[e[i].v]) getAns(e[i].v,-,);
 }
 void solve(int u,int s){
     if(s==){sum[]=(sum[]+)%mod; vis[u]=; return;}
     Siz=s, mn=, getRoot(u,u);
     vis[u=root]=, calc(u);
     rep_e(i,u) if(!vis[e[i].v]){
         solve(e[i].v, siz[e[i].v]>siz[u]?s-siz[u]:siz[e[i].v]);
     }
 }
 int ans;
 int main(){
     n=read();
     int u,v;
     rep(i,,n) u=read(), v=read(), add(u,v), add(v,u);
     inv[]=; rep(i,,n) inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
     solve(,n);
     rep(i,,n) ans=(ans+(ll)inv[i]*sum[i]%mod)%mod;
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

T3

常规连边是不可能的，我们回去考虑朴素做法。

发现题目的加法操作就是在邻接矩阵的两个矩形区域集体加一个数。

可以用扫描线加线段树维护这个。

但是怎么合并连通块？

有一种冷门的最小生成树算法（王爷以前提过）叫 $boruvka$算法。

做法是对于当前每个连通块，找到这块与其它块的连边中权值最小的那条，把它连上。

这样做一轮，连通块数量至少减少一半，所以只需要做 $log(n)$ 轮。

由于正常情况下这个算法的复杂度也是 $O(n\times log(n))$ 的，没 $kruskal$ 算法直观，所以几乎不用。

但在这题里用这种做法来连边效果会很好。

我们把每个矩形拆成 $2$ 个扫描线上的操作。

线段树上每个节点维护 $2$ 个 $pair$，记录连向两个不同连通块的边所指向的连通块和这条边的边权，在指向不同连通块的基础上再使边权最小。

线段树 $pushup$ 时讨论一下即可转移。

最后 $2$ 条边中至少有一条指向与当前点不在同一连通块的点，连上这条边即可。

---

我讲个道理，没有文字题解真的不是什么好事情，因为文字可以解释代码，而代码未必能很好地解释文字。做过一道题，过了若干个月就忘了怎么做的事情已经发生很多次了，相信我不用列举的。